ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для функции, заданной табличным способом, укажите ее область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции:

Функция обратима на множестве $X$, если любое свое значение она принимает только в одной точке на $X$.

а) Таблица значений функции:

Область определения функции: $D(f)=\{1;2;5;7\}$;

При $x=1$ и $x=7$, функция принимает одно и то же значение $y=3$, следовательно, она не является обратимой;

График функции:

б) Таблица значений функции:

$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ и $1,(4)=1\frac{4}{9}$;

Область определения функции: $D(f)=\{\frac{1}{8};\frac{1}{3};5;7\}$;

При $x=\frac{1}{8}$ и $x=5$, функция принимает одно и то же значение $y=\frac{2}{3}$, следовательно, она не является обратимой;

График функции:

в) Таблица значений функции:

Область определения функции: $D(f)=\{1;2;3;7\}$;

Каждое свое значение функция принимает только при одном значении $x$, следовательно, она является обратимой;

Таблица значений обратной функции:

График обратной функции:

г) Таблица значений функции:

$1,(7)=1\frac{7}{9}$;

Область определения функции: $D(f)=\{-1;1;2;5\}$;

Каждое свое значение функция принимает только при одном значении $x$, следовательно, она является обратимой;

Таблица значений обратной функции:

График обратной функции:

Функция называется обратимой на множестве $X$, если для каждого значения $y$ из её области значений существует только одно значение $x$ из области определения, такое что $f(x)=y$. Это означает, что функция должна быть инъективной (или взаимно однозначной), то есть каждое значение функции $y$ должно быть получено при помощи ровно одного значения $x$. Таким образом, для того чтобы функция была обратимой, её область определения не должна содержать двух одинаковых значений функции для разных значений $x$.

а) Таблица значений функции:

1) Область определения функции:

Область определения функции $D(f)$ – это множество всех возможных значений $x$, для которых определена функция $f(x)$. В данном случае функция определена на множестве $\{1,2,5,7\}$. Следовательно, область определения функции:

$$D(f)=\{1,2,5,7\}$$

2) Анализ на обратимость:

Чтобы функция была обратимой, она должна быть инъективной, то есть каждое значение функции $y$ должно быть получено при помощи ровно одного значения $x$.

Из таблицы значений видно, что при $x=1$ и $x=7$, функция принимает одно и то же значение $y=3$. Это означает, что два различных значения $x$ (1 и 7) дают одно и то же значение функции, что нарушает инъективность функции. Следовательно, функция не является обратимой.

б) Таблица значений функции:

1) Область определения функции:

Область определения функции — это множество всех значений $x$, для которых функция имеет значения $y$. В данной таблице $x$ принимает значения $\frac{1}{3},\frac{1}{8},5,7$. Следовательно, область определения функции:

$$D(f)=\{\frac{1}{8},\frac{1}{3},5,7\}$$

2) Анализ на обратимость:

Функция будет обратимой, если для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$, при котором $f(x)=y$.

Из таблицы значений видно, что при $x=\frac{1}{8}$ и $x=5$, функция принимает одно и то же значение $y=\frac{2}{3}$. Это означает, что два различных значения $x$ ( $\frac{1}{8}$ и $5$ ) дают одно и то же значение $y$, что нарушает инъективность функции. Следовательно, функция не является обратимой.

в) Таблица значений функции:

1) Область определения функции:

Область определения функции состоит из всех значений $x$, для которых функция принимает определённые значения. Из таблицы значений видно, что функция определена на множестве $\{1,2,3,7\}$. Следовательно, область определения функции:

$$D(f)=\{1,2,3,7\}$$

2) Анализ на обратимость:

Функция будет обратимой, если для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$, при котором $f(x)=y$.

Из таблицы видно, что каждому значению $y$ соответствует только одно значение $x$. Например:

• $y=5$ при $x=1$,
• $y=8$ при $x=2$,
• $y=9$ при $x=3$,
• $y=1$ при $x=7$.

Каждое значение $y$ получается при единственном значении $x$. Следовательно, функция обратима.

3) Таблица значений обратной функции:

Обратная функция $f^{-1}(y)$ для каждого значения $y$ будет возвращать соответствующее значение $x$. Таким образом, таблица значений обратной функции будет выглядеть так:

4) График обратной функции:

График обратной функции будет получен путём отражения графика исходной функции относительно прямой $y=x$. (График представлен на рисунке).

г) Таблица значений функции:

1) Область определения функции:

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых определена функция. В данной таблице функция определена на множестве $\{-1,1,2,5\}$. Следовательно, область определения функции:

$$D(f)=\{-1,1,2,5\}$$

2) Анализ на обратимость:

Функция будет обратимой, если для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$, при котором $f(x)=y$.

Из таблицы значений видно, что каждому значению $y$ соответствует только одно значение $x$:

• $y=4$ при $x=-1$,
• $y=1,(7)$ при $x=1$,
• $y=1\frac{2}{3}$ при $x=2$,
• $y=1$ при $x=5$.

Каждое значение $y$ получается при единственном значении $x$. Следовательно, функция обратима.

3) Таблица значений обратной функции:

Обратная функция для каждого значения $y$ будет возвращать соответствующее значение $x$. Таким образом, таблица значений обратной функции будет выглядеть так:

4) График обратной функции:

График обратной функции будет также получен путём отражения графика исходной функции относительно прямой $y=x$. (График представлен на рисунке).

Заключение:

• В примере а) и б) функции не являются обратимыми, так как при разных значениях $x$ принимаются одинаковые значения $y$, что нарушает инъективность функции.
• В примерах в) и г) функции являются обратимыми, так как каждое значение $y$ принимается только при одном значении $x$, что подтверждает инъективность этих функций.

Таким образом, для обратимости функции важно, чтобы на множестве $X$ каждое значение $y$ имело только одно соответствующее ему значение $x$.