ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения и множество значений функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$, если:

а) $D(f) = R$, $E(f) = (3; +\infty)$;

б) $D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$, $E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$;

в) $D(f) = [-5; 6)$, $E(f) = (-\infty; 11]$;

г) $D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

Область определения функции является множеством значений обратной ей функции, а множество значений — областью определения обратной функции;

Найти область определения и множество значений функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$, если:

а) $D(f) = R$, $E(f) = (3; +\infty)$;
Ответ: $D(g) = (3; +\infty)$; $E(g) = R$.

б) $D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$, $E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$;
Ответ: $D(g) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$; $E(g) = (2; 3) \cup [5; 6)$.

в) $D(f) = [-5; 6)$, $E(f) = (-\infty; 11]$;
Ответ: $D(g) = (-\infty; 11]$; $E(g) = [-5; 6)$.

г) $D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$;
Ответ: $D(g) = D(g) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$.

В данной задаче нужно найти область определения и множество значений функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$. Основная идея заключается в следующем:

1. Область определения функции $f(x)$ $D(f)$ становится множеством значений функции $g(x)$, то есть $E(g) = D(f)$.
2. Множество значений функции $f(x)$ $E(f)$ становится областью определения функции $g(x)$, то есть $D(g) = E(f)$.

Это правило может быть сформулировано как:

• Область определения функции $f$ (то есть $D(f)$) соответствует множеству значений функции $g$ (то есть $E(g)$).
• Множество значений функции $f$ (то есть $E(f)$) соответствует области определения функции $g$ (то есть $D(g)$).

Теперь давайте рассмотрим каждый пример и найдём область определения и множество значений для функции $g(x)$, которая является обратной для функции $f(x)$.

а) $D(f) = R$, $E(f) = (3; +\infty)$

1. Область определения функции $f(x)$ — $D(f) = R$: Это означает, что область определения функции $f(x)$ охватывает все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Множество значений функции $f(x)$ — $E(f) = (3; +\infty)$: Это означает, что функция $f(x)$ принимает значения на интервале $(3; +\infty)$, то есть $y \in (3, +\infty)$.

Теперь для функции $g(x)$, которая является обратной для $f(x)$:

• Область определения функции $g(x)$ будет равна множеству значений функции $f(x)$, то есть $D(g) = E(f) = (3; +\infty)$.
• Множество значений функции $g(x)$ будет равно области определения функции $f(x)$, то есть $E(g) = D(f) = R$.

Ответ:

$$D(g) = (3; +\infty), \quad E(g) = R$$

б) $D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$, $E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$

Область определения функции $f(x)$ — $D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$: Это означает, что функция $f(x)$ определена на двух интервалах:

• $x \in (2; 3)$, то есть $x$ больше 2, но меньше 3.
• $x \in [5; 6)$, то есть $x$ от 5 до 6, включая 5, но не включая 6.

Множество значений функции $f(x)$ — $E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$: Это означает, что функция $f(x)$ принимает значения на двух интервалах:

• $y \in (3; 4)$, то есть значения $y$ находятся между 3 и 4 (не включая 3 и 4).
• $y \in (7; +\infty)$, то есть значения $y$ больше 7.

Теперь для функции $g(x)$, которая является обратной для $f(x)$:

• Область определения функции $g(x)$ будет равна множеству значений функции $f(x)$, то есть $D(g) = E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$.
• Множество значений функции $g(x)$ будет равно области определения функции $f(x)$, то есть $E(g) = D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$.

Ответ:

$$D(g) = (3; 4) \cup (7; +\infty), \quad E(g) = (2; 3) \cup [5; 6)$$

в) $D(f) = [-5; 6)$, $E(f) = (-\infty; 11]$

1. Область определения функции $f(x)$ — $D(f) = [-5; 6)$: Это означает, что функция $f(x)$ определена на интервале от -5 до 6, включая -5, но не включая 6.
2. Множество значений функции $f(x)$ — $E(f) = (-\infty; 11]$: Это означает, что функция $f(x)$ принимает значения на интервале от минус бесконечности до 11, включая 11.

Теперь для функции $g(x)$, которая является обратной для $f(x)$:

• Область определения функции $g(x)$ будет равна множеству значений функции $f(x)$, то есть $D(g) = E(f) = (-\infty; 11]$.
• Множество значений функции $g(x)$ будет равно области определения функции $f(x)$, то есть $E(g) = D(f) = [-5; 6)$.

Ответ:

$$D(g) = (-\infty; 11], \quad E(g) = [-5; 6)$$

г) $D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

Область определения функции $f(x)$ — $D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$: Это означает, что функция $f(x)$ определена и принимает значения в двух частях:

• $x \in \{-3; 4; 7\}$, то есть $x$ может быть равен -3, 4 или 7.
• $x \in (10; +\infty)$, то есть $x$ больше 10.

Множество значений функции $f(x)$ — $E(f) = D(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$: Это означает, что множество значений функции $f(x)$ совпадает с её областью определения.

Теперь для функции $g(x)$, которая является обратной для $f(x)$:

• Область определения функции $g(x)$ будет равна множеству значений функции $f(x)$, то есть $D(g) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$.
• Множество значений функции $g(x)$ будет равно области определения функции $f(x)$, то есть $E(g) = D(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$.

Ответ:

$$D(g) = E(g) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$$