ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите множество значений каждой из взаимно-обратных функций у = f(x) и у = g(x), если указаны их области определения:

а) $D(f) = R$, $D(g) = [-2; +\infty)$;

б) $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$;

в) $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$;

г) $D(f) = \{-1; -2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$

Область определения функции является множеством значений обратной ей функции;

Найти множество значений, каждой из взаимообратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, если:

а) $D(f) = R$, $D(g) = [-2; +\infty)$;
Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$; $E(g) = R$.

б) $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$;
Ответ: $E(f) = [4; 11]$; $E(g) = [-3; 4]$.

в) $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$;
Ответ: $E(f) = (-\infty; 7)$; $E(g) = (0; +\infty)$.

г) $D(f) = \{-1; -2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$;
Ответ: $E(f) = \{-2; 78; 123\}$; $E(g) = \{-1; -2; 4\}$.

Общие правила:

1. Если $f$ и $g$ — взаимно обратные функции, то области определения функции $f$ будут равны множествам значений функции $g$, и наоборот.
2. Область определения функции $f$, обозначаемая $D(f)$, — это множество значений, для которых функция $f$ имеет смысл (функция существует).
3. Область значений функции $f$, обозначаемая $E(f)$, — это множество значений, которые может принимать функция $f$, то есть она определяется как область определения обратной функции $g$, то есть $E(f) = D(g)$.
4. Для функции $g$ область определения $D(g)$ является областью значений функции $f$, а область значений $E(g)$ — областью определения функции $f$.

а) $D(f) = R$, $D(g) = [-2; +\infty)$:

1. Область определения функции $f$ — это все реальные числа $R$. Это означает, что функция $f$ определена для всех значений $x \in R$.
2. Так как $f$ и $g$ — взаимно обратные функции, то область значений функции $f$, которая равна области определения функции $g$, будет равна $E(f) = D(g) = [-2; +\infty)$.
3. Область определения функции $g$ — это $D(g) = [-2; +\infty)$, что означает, что функция $g$ определена для значений $x \in [-2; +\infty)$.
4. Соответственно, область значений функции $g$ будет равна области определения функции $f$, то есть $E(g) = D(f) = R$.

Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$; $E(g) = R$.

б) $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$:

1. Область определения функции $f$ — это $D(f) = [-3; 4]$. Функция $f$ определена только на отрезке $[-3; 4]$.
2. Так как $f$ и $g$ — взаимно обратные функции, область значений функции $f$ будет равна области определения функции $g$, то есть $E(f) = D(g) = [4; 11]$.
3. Область определения функции $g$ — это $D(g) = [4; 11]$, что означает, что функция $g$ определена для значений $x \in [4; 11]$.
4. Область значений функции $g$ будет равна области определения функции $f$, то есть $E(g) = D(f) = [-3; 4]$.

Ответ: $E(f) = [4; 11]$; $E(g) = [-3; 4]$.

в) $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$:

1. Область определения функции $f$ — это $D(f) = (0; +\infty)$, то есть функция $f$ определена для всех значений $x > 0$.
2. Так как $f$ и $g$ — взаимно обратные функции, область значений функции $f$ будет равна области определения функции $g$, то есть $E(f) = D(g) = (-\infty; 7)$.
3. Область определения функции $g$ — это $D(g) = (-\infty; 7)$, что означает, что функция $g$ определена для значений $x \in (-\infty; 7)$.
4. Область значений функции $g$ будет равна области определения функции $f$, то есть $E(g) = D(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 7)$; $E(g) = (0; +\infty)$.

г) $D(f) = \{-1; -2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$:

1. Область определения функции $f$ — это $D(f) = \{-1; -2; 4\}$. Функция $f$ определена только для значений $x \in \{-1; -2; 4\}$.
2. Так как $f$ и $g$ — взаимно обратные функции, область значений функции $f$ будет равна области определения функции $g$, то есть $E(f) = D(g) = \{-2; 78; 123\}$.
3. Область определения функции $g$ — это $D(g) = \{-2; 78; 123\}$, что означает, что функция $g$ определена для значений $x \in \{-2; 78; 123\}$.
4. Область значений функции $g$ будет равна области определения функции $f$, то есть $E(g) = D(f) = \{-1; -2; 4\}$.

Ответ: $E(f) = \{-2; 78; 123\}$; $E(g) = \{-1; -2; 4\}$.

Итоговые ответы:

а) $E(f) = [-2; +\infty)$; $E(g) = R$

б) $E(f) = [4; 11]$; $E(g) = [-3; 4]$

в) $E(f) = (-\infty; 7)$; $E(g) = (0; +\infty)$

г) $E(f) = \{-2; 78; 123\}$; $E(g) = \{-1; -2; 4\}$