ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно обратными, если:

а) $f(x) = 3x + 5$ и $g(x) = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3}$;

б) $f(x) = \frac{3}{5} — 6x$ и $g(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x$;

в) $f(x) = \frac{1}{7}x — 3$ и $g(x) = 7x + 3$;

г) $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ и $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$

Являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно обратными, если:

а) $f(x) = 3x + 5$ и $g(x) = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3}$;

Найдем функцию, обратную первой:

$$x = 3 \cdot s(x) + 5;$$ $$3 \cdot s(x) = x — 5;$$ $$s(x) = \frac{x — 5}{3};$$ $$s(x) = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3} = g(x);$$

Ответ: являются.

б) $f(x) = \frac{3}{5} — 6x$ и $g(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x$;

Найдем функцию, обратную первой:

$$x = \frac{3}{5} — 6 \cdot s(x);$$ $$6 \cdot s(x) = \frac{3}{5} — x;$$ $$s(x) = \frac{\frac{3}{5} — x}{6};$$ $$s(x) = \frac{3}{30} — \frac{1}{6}x;$$ $$s(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x = g(x)$$

Ответ: являются.

в) $f(x) = \frac{1}{7}x — 3$ и $g(x) = 7x + 3$;

Найдем функцию, обратную первой:

$$x = \frac{1}{7} \cdot s(x) — 3;$$ $$\frac{1}{7} \cdot s(x) = x + 3;$$ $$s(x) = 7(x + 3);$$ $$s(x) = 7x + 21 \neq g(x);$$

Ответ: не являются.

г) $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ и $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$;

Найдем функцию, обратную первой:

$$x = \frac{7}{3} \cdot s(x) + \frac{3}{7};$$ $$\frac{7}{3} \cdot s(x) = x — \frac{3}{7};$$ $$s(x) = \frac{3}{7} \left( x — \frac{3}{7} \right);$$ $$s(x) = \frac{3}{7}x — \frac{9}{49} \neq g(x);$$

Ответ: не являются.

Общие правила для проверки взаимной обратимости функций:

Две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, если:

1. $f(g(x)) = x$, то есть применение функции $g$ к $x$, а затем функции $f$ к результату дает $x$.
2. $g(f(x)) = x$, то есть применение функции $f$ к $x$, а затем функции $g$ к результату дает $x$.

Для этого нам нужно найти обратную функцию $s(x)$ для $f(x)$, и затем проверить, совпадает ли она с функцией $g(x)$.

а) $f(x) = 3x + 5$ и $g(x) = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3}$

Шаг 1: Найдем обратную функцию для $f(x)$

Мы хотим найти функцию $s(x)$, такую что:

$$x = 3 \cdot s(x) + 5$$

Изолируем $s(x)$ на одну сторону:

$$x — 5 = 3 \cdot s(x)$$

Разделим обе части на 3:

$$s(x) = \frac{x — 5}{3}$$

Шаг 2: Сравнение с функцией $g(x)$

Теперь сравним $s(x) = \frac{x — 5}{3}$ с $g(x) = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3}$.

Преобразуем выражение для $s(x)$:

$$s(x) = \frac{x}{3} — \frac{5}{3}$$

Это точно то же самое, что и $g(x)$.

Ответ: Да, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными.

б) $f(x) = \frac{3}{5} — 6x$ и $g(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x$

Шаг 1: Найдем обратную функцию для $f(x)$

Мы хотим найти функцию $s(x)$, такую что:

$$x = \frac{3}{5} — 6 \cdot s(x)$$

Изолируем $s(x)$ на одну сторону:

$$6 \cdot s(x) = \frac{3}{5} — x$$

Разделим обе части на 6:

$$s(x) = \frac{\frac{3}{5} — x}{6}$$

Шаг 2: Упростим выражение для $s(x)$

Приведем к общему знаменателю в числителе:

$$s(x) = \frac{3}{30} — \frac{1}{6}x$$ $$s(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x$$

Шаг 3: Сравнение с функцией $g(x)$

Теперь сравним $s(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x$ с $g(x) = 0,1 — \frac{1}{6}x$.

Это точно то же самое, что и $g(x)$.

Ответ: Да, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными.

в) $f(x) = \frac{1}{7}x — 3$ и $g(x) = 7x + 3$

Шаг 1: Найдем обратную функцию для $f(x)$

Мы хотим найти функцию $s(x)$, такую что:

$$x = \frac{1}{7} \cdot s(x) — 3$$

Изолируем $s(x)$ на одну сторону:

$$\frac{1}{7} \cdot s(x) = x + 3$$

Умножим обе части на 7:

$$s(x) = 7(x + 3)$$

Раскроем скобки:

$$s(x) = 7x + 21$$

Шаг 2: Сравнение с функцией $g(x)$

Теперь сравним $s(x) = 7x + 21$ с $g(x) = 7x + 3$.

Мы видим, что $s(x) \neq g(x)$, так как они имеют разные константы (21 и 3).

Ответ: Нет, функции $f(x)$ и $g(x)$ не являются взаимно обратными.

г) $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ и $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$

Шаг 1: Найдем обратную функцию для $f(x)$

Мы хотим найти функцию $s(x)$, такую что:

$$x = \frac{7}{3} \cdot s(x) + \frac{3}{7}$$

Изолируем $s(x)$ на одну сторону:

$$\frac{7}{3} \cdot s(x) = x — \frac{3}{7}$$

Умножим обе части на $\frac{3}{7}$:

$$s(x) = \frac{3}{7} \left( x — \frac{3}{7} \right)$$

Раскроем скобки:

$$s(x) = \frac{3}{7}x — \frac{9}{49}$$

Шаг 2: Сравнение с функцией $g(x)$

Теперь сравним $s(x) = \frac{3}{7}x — \frac{9}{49}$ с $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$.

Мы видим, что $s(x) \neq g(x)$, так как константы в этих выражениях разные ($-\frac{9}{49}$ и $\frac{7}{3}$).

Ответ: Нет, функции $f(x)$ и $g(x)$ не являются взаимно обратными.

Итоговые ответы:

а) Да, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными.

б) Да, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными.

в) Нет, функции $f(x)$ и $g(x)$ не являются взаимно обратными.

г) Нет, функции $f(x)$ и $g(x)$ не являются взаимно обратными.