ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 101 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ на отрезке $[-\sqrt{2};1]$;

б) $y=-\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }$ на отрезке $[-\sqrt{2};1]$;

в) $y=-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+5$ на отрезке $[-1;\sqrt{3}]$;

г) $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3$ на отрезке $[2;\sqrt{5}]$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ на отрезке $[-\sqrt{2};1]$;

1. Абсцисса вершины графика:
   $x=0;$
2. Значения функции:
   $y(-\sqrt{2})=\mathrm{\mid }-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{2};$
   $y(0)=\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0;$
   $y(1)=\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }=1;$

Ответ: $y_{\text{min}}=0$; $y_{\text{max}}=\sqrt{2}$.

б) $y=-\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }$ на отрезке $[-\sqrt{2};1]$;

1. Абсцисса вершины графика:
   $x+4=0,\text{отсюда }x=-4;$
2. Значения функции:
   $y(-\sqrt{2})=-\mathrm{\mid }-\sqrt{2}+4\mathrm{\mid }=-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-4;$
   $y(1)=-\mathrm{\mid }1+4\mathrm{\mid }=-\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }=-5;$

Ответ: $y_{\text{min}}=-5$; $y_{\text{max}}=\sqrt{2}-4$.

в) $y=-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+5$ на отрезке $[-1;\sqrt{3}]$;

1. Абсцисса вершины графика:
   $x=0;$
2. Значения функции:
   $y(-1)=-\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }+5=-1+5=4;$
   $y(0)=-\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }+5=5;$
   $y(\sqrt{3})=-\mathrm{\mid }\sqrt{3}\mathrm{\mid }+5=5-\sqrt{3};$

Ответ: $y_{\text{min}}=5-\sqrt{3}$; $y_{\text{max}}=5$.

г) $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3$ на отрезке $[2;\sqrt{5}]$;

1. Абсцисса вершины графика:
   $x-1=0,\text{отсюда }x=1;$
2. Значения функции:
   $y(2)=\mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }-3=\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }-3=1-3=-2;$
   $y(\sqrt{5})=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-1\mathrm{\mid }-3=\sqrt{5}-1-3=\sqrt{5}-4;$

Ответ: $y_{\text{min}}=-2$; $y_{\text{max}}=\sqrt{5}-4$.

а) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ на отрезке $[-\sqrt{2};1]$

Функция $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ представляет собой модуль числа $x$. Это функция, которая всегда возвращает неотрицательные значения, независимо от того, является ли $x$ положительным или отрицательным.

1) Абсцисса вершины графика:

Для функции $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, график имеет вершину в точке $x=0$, потому что это минимальное значение для функции $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$. Вершина будет в точке $(0,0)$.

Ответ: Абсцисса вершины графика: $x=0$.

2) Значения функции:

Теперь вычислим значения функции в концах отрезка $[-\sqrt{2};1]$ и в точке вершины $x=0$:

• Для $x=-\sqrt{2}$:$$y(-\sqrt{2})=\mathrm{\mid }-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$$
• Для $x=0$:$$y(0)=\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$$
• Для $x=1$:$$y(1)=\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }=1$$

3) Наибольшее и наименьшее значения функции:

• Наибольшее значение $y_{\text{max}}=\sqrt{2}$ при $x=-\sqrt{2}$.
• Наименьшее значение $y_{\text{min}}=0$ при $x=0$.

Ответ: $y_{\text{min}}=0$; $y_{\text{max}}=\sqrt{2}$.

б) $y=-\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }$ на отрезке $[-\sqrt{2};1]$

Функция $y=-\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }$ представляет собой отраженную по оси $x$ функцию $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }$ с добавлением минуса перед модулем. Это означает, что график будет отражен вниз.

1) Абсцисса вершины графика:

Вершина функции $y=-\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }$ будет находиться в точке $x+4=0$, то есть $x=-4$. Но на отрезке $[-\sqrt{2};1]$ эта вершина не попадает, так как $x=-4$ выходит за пределы отрезка. Поэтому нам нужно вычислять значения функции на концах отрезка.

Ответ: Абсцисса вершины: $x=-4$ (вне отрезка, значит, рассматриваем значения в точках отрезка).

2) Значения функции:

Вычислим значения функции на концах отрезка $[-\sqrt{2};1]$:

• Для $x=-\sqrt{2}$:$$y(-\sqrt{2})=-\mathrm{\mid }-\sqrt{2}+4\mathrm{\mid }=-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-4$$
• Для $x=1$:$$y(1)=-\mathrm{\mid }1+4\mathrm{\mid }=-\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }=-5$$

3) Наибольшее и наименьшее значения функции:

• Наибольшее значение $y_{\text{max}}=\sqrt{2}-4$ при $x=-\sqrt{2}$.
• Наименьшее значение $y_{\text{min}}=-5$ при $x=1$.

Ответ: $y_{\text{min}}=-5$; $y_{\text{max}}=\sqrt{2}-4$.

в) $y=-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+5$ на отрезке $[-1;\sqrt{3}]$

Функция $y=-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+5$ представляет собой функцию, отраженную по оси $x$ и сдвинутую вверх на 5 единиц. График будет иметь вершину в точке $(0,5)$, так как это максимальное значение для функции $-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

1) Абсцисса вершины графика:

Вершина функции $y=-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+5$ находится в точке $x=0$, так как функция $-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ достигает максимума при $x=0$.

Ответ: Абсцисса вершины графика: $x=0$.

2) Значения функции:

Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1;\sqrt{3}]$:

• Для $x=-1$:$$y(-1)=-\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }+5=-1+5=4$$
• Для $x=0$:$$y(0)=-\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }+5=5$$
• Для $x=\sqrt{3}$:$$y(\sqrt{3})=-\mathrm{\mid }\sqrt{3}\mathrm{\mid }+5=5-\sqrt{3}$$

3) Наибольшее и наименьшее значения функции:

• Наибольшее значение $y_{\text{max}}=5$ при $x=0$.
• Наименьшее значение $y_{\text{min}}=5-\sqrt{3}$ при $x=\sqrt{3}$.

Ответ: $y_{\text{min}}=5-\sqrt{3}$; $y_{\text{max}}=5$.

г) $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3$ на отрезке $[2;\sqrt{5}]$

Функция $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3$ представляет собой сдвиг функции $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$ на 3 единицы вниз.

1) Абсцисса вершины графика:

Вершина функции $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3$ будет находиться в точке $x=1$, так как это минимальная точка для $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$. Однако на отрезке $[2;\sqrt{5}]$ эта точка не включена, поэтому мы должны вычислять значения функции на концах отрезка.

Ответ: Абсцисса вершины графика: $x=1$ (вне отрезка).

2) Значения функции:

Вычислим значения функции на концах отрезка $[2;\sqrt{5}]$:

• Для $x=2$:$$y(2)=\mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }-3=1-3=-2$$
• Для $x=\sqrt{5}$:$$y(\sqrt{5})=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-1\mathrm{\mid }-3=\sqrt{5}-1-3=\sqrt{5}-4$$

3) Наибольшее и наименьшее значения функции:

• Наименьшее значение $y_{\text{min}}=-2$ при $x=2$.
• Наибольшее значение $y_{\text{max}}=\sqrt{5}-4$ при $x=\sqrt{5}$.

Ответ: $y_{\text{min}}=-2$; $y_{\text{max}}=\sqrt{5}-4$.

Итоговый ответ:

а) $y_{\text{min}}=0$; $y_{\text{max}}=\sqrt{2}$.

б) $y_{\text{min}}=-5$; $y_{\text{max}}=\sqrt{2}-4$.

в) $y_{\text{min}}=5-\sqrt{3}$; $y_{\text{max}}=5$.

г) $y_{\text{min}}=-2$; $y_{\text{max}}=\sqrt{5}-4$.