ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 104 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции у = f(х) и опишите её свойства, если:

а) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& \text{если }1\le x\le 2\\ \frac{6}{x},& \text{если }2<x\le 6\end{array}$

б) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{-4}{x+1},& \text{если }x<-1\\ -3x^2+3,& \text{если }-1\le x\le 2\end{array}$

а) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& \text{если }1\le x\le 2\\ \frac{6}{x},& \text{если }2<x\le 6\end{array}$

$y=x^2+2$ – уравнение параболы:
$x_0=0$ и $y_0=0$;

$y=\frac{6}{x}$ – уравнение гиперболы:
$x_0=0$ и $y_0=0$;

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $D(x)=[1;6]$;
• Множество значений: $E(f)=[1;6]$;
• Возрастает на $[1;2]$ и убывает на $[2;6]$;
• Функция непрерывна на $(1;2)\cup (2;6)$.

б) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{-4}{x+1},& \text{если }x<-1\\ -3x^2+3,& \text{если }-1\le x\le 2\end{array}$

$y=\frac{-4}{x+1}$ – уравнение гиперболы:
$x_0=-1$ и $y_0=0$;

$y=-3x^2+3$ – уравнение параболы:
$x_0=0$ и $y_0=3$;

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $D(x)=(-\mathrm{\infty };2]$;
• Множество значений: $E(f)=[-9;+\mathrm{\infty })$;
• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1)\cup [-1;0]$ и убывает на $[0;2]$;
• Функция непрерывна на $(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;2)$.

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& \text{если }1\le x\le 2\\ \frac{6}{x},& \text{если }2<x\le 6\end{array}$

1.1 Анализ выражений для каждой части функции

Функция состоит из двух частей:

1. $y=x^2+2$ для $x\in [1;2]$. Это уравнение параболы, где коэффициент при $x^2$ положителен, значит, парабола будет открываться вверх.
2. $y=\frac{6}{x}$ для $x\in (2;6]$. Это уравнение гиперболы, поскольку в знаменателе присутствует $x$.

1.2 Построение таблицы значений

Для каждой части функции составим таблицы значений.

Для $y=x^2+2$ (при $1\le x\le 2$):

1. Подставим в функцию $x=1$:
   $y=1^2+2=1+2=3$
2. Подставим в функцию $x=2$:
   $y=2^2+2=4+2=6$

Таблица значений для функции на интервале $[1;2]$:

Для $y=\frac{6}{x}$ (при $2<x\le 6$):

1. Подставим в функцию $x=2$:
   $y=\frac{6}{2}=3$
2. Подставим в функцию $x=3$:
   $y=\frac{6}{3}=2$
3. Подставим в функцию $x=6$:
   $y=\frac{6}{6}=1$

Таблица значений для функции на интервале $(2;6]$:

1.3 Построение графика функции

График будет состоять из двух частей:

• Первая часть (для $x\in [1;2]$) — парабола $y=x^2+2$.
• Вторая часть (для $x\in (2;6]$) — гипербола $y=\frac{6}{x}$.

График будет выглядеть следующим образом:

1. На интервале $x\in [1;2]$ мы видим, как функция $x^2+2$ возрастает от $y=3$ до $y=6$.
2. На интервале $x\in (2;6]$ функция $y=\frac{6}{x}$ убывает от $y=3$ до $y=1$.

1.4 Свойства функции

Область определения:
Функция определена на интервале $D(x)=[1;6]$, так как первый кусок функции определен для $1\le x\le 2$, а второй — для $2<x\le 6$.

Множество значений:
Для первого участка $y=x^2+2$ на интервале $[1;2]$ $y$ возрастает от 3 до 6, то есть $E(f)=[3;6]$.
Для второго участка $y=\frac{6}{x}$ на интервале $(2;6]$ $y$ убывает от 3 до 1, то есть $E(f)=[3;1]$.Объединяя эти два участка, получаем, что $E(f)=[1;6]$.

Возрастание и убывание:

• Функция возрастает на интервале $[1;2]$, так как парабола открывается вверх.
• Функция убывает на интервале $(2;6]$, так как гипербола убывает в этом интервале.

Непрерывность:
Функция непрерывна на $(1;2)\cup (2;6)$, так как она состоит из двух непрерывных частей, но на точке $x=2$ происходит разрыв, так как значения функции для $x$ слева от 2 и справа от 2 не совпадают.

б) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{-4}{x+1},& \text{если }x<-1\\ -3x^2+3,& \text{если }-1\le x\le 2\end{array}$

2.1 Анализ выражений для каждой части функции

Функция состоит из двух частей:

1. $y=\frac{-4}{x+1}$ для $x\in (-\mathrm{\infty };-1)$. Это уравнение гиперболы.
2. $y=-3x^2+3$ для $x\in [-1;2]$. Это уравнение параболы, направленной вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.

2.2 Построение таблицы значений

Для $y=\frac{-4}{x+1}$ (при $x<-1$):

1. Подставим в функцию $x=-5$:
   $y=\frac{-4}{-5+1}=\frac{-4}{-4}=1$
2. Подставим в функцию $x=-3$:
   $y=\frac{-4}{-3+1}=\frac{-4}{-2}=2$

Таблица значений для функции на интервале $(-\mathrm{\infty };-1)$:

Для $y=-3x^2+3$ (при $-1\le x\le 2$):

1. Подставим в функцию $x=-1$:
   $y=-3(-1{)}^2+3=-3+3=0$
2. Подставим в функцию $x=0$:
   $y=-3(0{)}^2+3=3$
3. Подставим в функцию $x=2$:
   $y=-3(2{)}^2+3=-12+3=-9$

Таблица значений для функции на интервале $[-1;2]$:

2.3 Построение графика функции

График будет состоять из двух частей:

1. На интервале $x\in (-\mathrm{\infty };-1)$ график будет гиперболой $y=\frac{-4}{x+1}$.
2. На интервале $x\in [-1;2]$ график будет параболой $y=-3x^2+3$.

2.4 Свойства функции

Область определения:
Функция определена на интервале $D(x)=(-\mathrm{\infty };2]$, так как первый участок функции определен для $x<-1$, а второй — для $-1\le x\le 2$.

Множество значений:
Для первого участка $y=\frac{-4}{x+1}$ $y$ может принимать все значения $(-\mathrm{\infty };0)$. Для второго участка $y=-3x^2+3$ $y$ принимает значения от 0 до -9.Множество значений $E(f)=[-9;+\mathrm{\infty })$.

Возрастание и убывание:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1)$ и $[-1;0]$.
• Функция убывает на $[0;2]$.

Непрерывность:
Функция непрерывна на $(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;2)$, так как на точке $x=-1$ функция имеет разрыв.