ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 105 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дана функция у = f(х), где f(x) = х² — 5х + 6. При каком значении х выполняется равенство f(x + 1) = f(x — 3)?

б) Дана функция у = f(х), где f(x) = 1/x. При каком значении х выполняется равенство f(x² — 1) = f(Зх² — Зх)?

а) Дана функция: $f(x)=x^2-5x+6$;

Значение первой функции:

$$f(x+1)=(x+1{)}^2-5(x+1)+6;$$$$f(x+1)=x^2+2x+1-5x-5+6;$$$$f(x+1)=x^2-3x+2;$$

Значение второй функции:

$$f(x-3)=(x-3{)}^2-5(x-3)+6;$$$$f(x-3)=x^2-6x+9-5x+15+6;$$$$f(x-3)=x^2-11x+30;$$

Равенство выполняется при:

$$x^2-3x+2=x^2-11x+30;$$$$-3x+11x=30-2;$$$$8x=28,\text{ отсюда }x=\frac{28}{8}=3.5;$$

Ответ: $x=3.5$.

б) Дана функция: $f(x)=\frac{1}{x}$;

Значение первой функции:

$$f(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-1\mathrm{\ne }0;$$$$x^2\mathrm{\ne }1,\text{ отсюда }x\mathrm{\ne }\pm 1;$$

Значение второй функции:

$$f(3x^2-3x)=\frac{1}{3x^2-3x};$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x^2-3x\mathrm{\ne }0;$$$$3x(x-1)\mathrm{\ne }0;$$$$x_1\mathrm{\ne }0\text{ и }{x}_2\mathrm{\ne }1;$$

Равенство выполняется при:

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{3x^2-3x};$$$$x^2-1=3x^2-3x;$$$$2x^2-3x+1=0;$$

$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1$, тогда:

$$x_1=\frac{3-1}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=0.5\text{и}{x}_2=\frac{3+1}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1;$$

Ответ: $x=0.5$.

а) Дана функция: $f(x)=x^2-5x+6$;

Шаг 1: Значение первой функции

Нам нужно найти значение функции $f(x+1)$. Для этого подставим $x+1$ вместо $x$ в исходное выражение:

$$f(x+1)=(x+1{)}^2-5(x+1)+6$$

Раскроем скобки:

Раскрываем квадрат:

$$(x+1{)}^2=x^2+2x+1$$

Умножаем $-5$ на $(x+1)$:

$$-5(x+1)=-5x-5$$

Теперь подставим эти выражения в формулу:

$$f(x+1)=x^2+2x+1-5x-5+6$$

Давайте теперь упростим:

$$f(x+1)=x^2+(2x-5x)+(1-5+6)$$$$f(x+1)=x^2-3x+2$$

Ответ: $f(x+1)=x^2-3x+2$.

Шаг 2: Значение второй функции

Теперь найдем значение функции $f(x-3)$, подставив $x-3$ вместо $x$ в исходную функцию:

$$f(x-3)=(x-3{)}^2-5(x-3)+6$$

Раскрываем квадрат:

$$(x-3{)}^2=x^2-6x+9$$

Умножаем $-5$ на $(x-3)$:

$$-5(x-3)=-5x+15$$

Теперь подставляем эти выражения:

$$f(x-3)=x^2-6x+9-5x+15+6$$

Упростим:

$$f(x-3)=x^2+(-6x-5x)+(9+15+6)$$$$f(x-3)=x^2-11x+30$$

Ответ: $f(x-3)=x^2-11x+30$.

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь нужно решить уравнение $f(x+1)=f(x-3)$. Подставим полученные выражения для $f(x+1)$ и $f(x-3)$:

$$x^2-3x+2=x^2-11x+30$$

Убираем $x^2$ с обеих сторон (так как они одинаковы):

$$-3x+2=-11x+30$$

Переносим все члены, содержащие $x$, в одну часть уравнения, а константы — в другую:

$$-3x+11x=30-2$$$$8x=28$$

Решаем для $x$:

$$x=\frac{28}{8}=3.5$$

Ответ: $x=3.5$.

б) Дана функция: $f(x)=\frac{1}{x}$;

Шаг 1: Значение первой функции

Нам нужно найти значение функции $f(x^2-1)$. Для этого подставим $x^2-1$ вместо $x$ в исходную функцию:

$$f(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}$$

Это выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:

$$x^2-1\mathrm{\ne }0$$

Решаем для $x$:

$$x^2\mathrm{\ne }1$$

Таким образом, $x\mathrm{\ne }\pm 1$.

Ответ: выражение $f(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}$ имеет смысл при $x\mathrm{\ne }\pm 1$.

Шаг 2: Значение второй функции

Теперь находим значение функции $f(3x^2-3x)$, подставив $3x^2-3x$ вместо $x$:

$$f(3x^2-3x)=\frac{1}{3x^2-3x}$$

Это выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:

$$3x^2-3x\mathrm{\ne }0$$

Выносим общий множитель $3x$:

$$3x(x-1)\mathrm{\ne }0$$

Это выражение выполняется при:

$$x\mathrm{\ne }0\text{и}x\mathrm{\ne }1$$

Ответ: выражение $f(3x^2-3x)=\frac{1}{3x^2-3x}$ имеет смысл при $x\mathrm{\ne }0$ и $x\mathrm{\ne }1$.

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь решим уравнение $f(x^2-1)=f(3x^2-3x)$. Подставим полученные выражения:

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

Преобразуем уравнение:

$$x^2-1=3x^2-3x$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$x^2-3x^2+3x-1=0$$$$-2x^2+3x-1=0$$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$$2x^2-3x+1=0$$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=2$, $b=-3$, $c=1$, дискриминант вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$$$D=(-3{)}^2-4(2)(1)=9-8=1$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2(2)}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=0.5$$$$x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2(2)}=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1$$

Ответ: $x=0.5$.

Итоговое решение:

• Ответ для части а): $x=3.5$.
• Ответ для части б): $x=0.5$.