ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 106 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дана функция у = f(x), где f(x) = х² + 7х + 12. При каких значениях х выполняется неравенство f(x + 3) > f(0)?

б) Дана функция у = f(х), где f(х) = х² — 4х + 3. При каких значениях х выполняется неравенство f(х — 1) < f(1)?

а) Дана функция: $f(x)=x^2+7x+12$;

Значение первой функции:

$$f(x+3)=(x+3{)}^2+7(x+3)+12;$$$$f(x+3)=x^2+6x+9+7x+21+12;$$$$f(x+3)=x^2+13x+42;$$

Значение второй функции:

$$f(0)=0^2+7\cdot 0+12=0+0+12=12;$$

Неравенство выполняется при:

$$x^2+13x+42>12;$$$$x^2+13x+30>0;$$$$D={13}^2-4\cdot 30=169-120=49,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-13-7}{2}=-10\text{и}{x}_2=\frac{-13+7}{2}=-3;$$$$(x+10)(x+3)>0;$$$$x<-10\text{и}x>-3;$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-10)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$.

б) Дана функция: $f(x)=x^2-4x+3$;

Значение первой функции:

$$f(x-1)=(x-1{)}^2-4(x-1)+3;$$$$f(x-1)=x^2-2x+1-4x+4+3;$$$$f(x-1)=x^2-6x+8;$$

Значение второй функции:

$$f(1)=1^2-4\cdot 1+3=1-4+3=0;$$

Неравенство выполняется при:

$$x^2-6x+8\le 0;$$$$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{6-2}{2}=2\text{и}{x}_2=\frac{6+2}{2}=4;$$$$(x-2)(x-4)\le 0;$$$$2\le x\le 4;$$

Ответ: $x\in [2;4]$.

а) Дана функция: $f(x)=x^2+7x+12$;

Нам нужно выполнить несколько операций с этой функцией, включая нахождение значений функции при изменении аргумента, а также решение неравенства.

1.1 Значение первой функции: $f(x+3)$

Для того чтобы найти $f(x+3)$, подставим $x+3$ вместо $x$ в исходное выражение для $f(x)$:

$$f(x+3)=(x+3{)}^2+7(x+3)+12$$

Давайте последовательно раскроем скобки и упростим это выражение:

Раскроем квадрат:

$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$

Умножим $7$ на $(x+3)$:

$$7(x+3)=7x+21$$

Теперь подставим полученные выражения в исходную формулу:

$$f(x+3)=x^2+6x+9+7x+21+12$$

Соберем подобные члены:

$$f(x+3)=x^2+(6x+7x)+(9+21+12)$$$$f(x+3)=x^2+13x+42$$

Ответ:

$$f(x+3)=x^2+13x+42$$

1.2 Значение второй функции: $f(0)$

Теперь найдем значение функции $f(x)$ при $x=0$, то есть вычислим $f(0)$:

$$f(0)=0^2+7\cdot 0+12$$$$f(0)=0+0+12=12$$

Ответ:

$$f(0)=12$$

1.3 Решение неравенства $f(x+3)>12$

Теперь мы решаем неравенство:

$$f(x+3)>12$$

Подставим выражение для $f(x+3)$ из предыдущего шага:

$$x^2+13x+42>12$$

Переносим $12$ на левую сторону:

$$x^2+13x+42-12>0$$$$x^2+13x+30>0$$

Решим это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2+13x+30=0$$

Для нахождения корней используем дискриминант. Формула для дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=13$, $c=30$.

Подставляем в формулу:

$$D={13}^2-4\cdot 1\cdot 30=169-120=49$$

Корни уравнения находим по формулам:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-13-7}{2}=\frac{-20}{2}=-10$$$$x_2=\frac{-13+7}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$

Таким образом, корни уравнения $x_1=-10$ и $x_2=-3$. Теперь можем решить неравенство $(x+10)(x+3)>0$.

Чтобы решить это неравенство, нужно анализировать знаки произведения двух множителей. В данном случае знаки будут зависеть от того, в какой части числовой оси находится $x$:

• Для $x<-10$, оба множителя $(x+10)$ и $(x+3)$ отрицательны, следовательно, их произведение положительное.
• Для $-10<x<-3$, $(x+10)$ положителен, а $(x+3)$ отрицателен, следовательно, их произведение отрицательное.
• Для $x>-3$, оба множителя $(x+10)$ и $(x+3)$ положительны, следовательно, их произведение положительное.

Таким образом, неравенство $(x+10)(x+3)>0$ выполняется при:

$$x<-10\text{или}x>-3$$

Ответ:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-10)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$$

б) Дана функция: $f(x)=x^2-4x+3$;

2.1 Значение первой функции: $f(x-1)$

Нам нужно найти значение функции $f(x-1)$, подставив $x-1$ вместо $x$ в исходное выражение для $f(x)$:

$$f(x-1)=(x-1{)}^2-4(x-1)+3$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

Раскрываем квадрат:

$$(x-1{)}^2=x^2-2x+1$$

Умножаем $-4$ на $(x-1)$:

$$-4(x-1)=-4x+4$$

Теперь подставим полученные выражения:

$$f(x-1)=x^2-2x+1-4x+4+3$$

Соберем подобные члены:

$$f(x-1)=x^2+(-2x-4x)+(1+4+3)$$$$f(x-1)=x^2-6x+8$$

Ответ:

$$f(x-1)=x^2-6x+8$$

2.2 Значение второй функции: $f(1)$

Теперь найдем значение функции $f(x)$ при $x=1$:

$$f(1)=1^2-4\cdot 1+3$$$$f(1)=1-4+3=0$$

Ответ:

$$f(1)=0$$

2.3 Решение неравенства $f(x-1)\le 0$

Теперь решим неравенство:

$$f(x-1)\le 0$$

Подставим выражение для $f(x-1)$ из предыдущего шага:

$$x^2-6x+8\le 0$$

Решим это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2-6x+8=0$$

Для нахождения корней используем дискриминант. Формула для дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

Подставляем в формулу:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

Корни уравнения находим по формулам:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$$$$x_2=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Теперь решаем неравенство $(x-2)(x-4)\le 0$.

Чтобы решить это неравенство, нужно анализировать знаки произведения двух множителей. Знаки будут зависеть от того, в какой части числовой оси находится $x$:

• Для $x\in [2;4]$, множители $(x-2)$ и $(x-4)$ меняют знак, и их произведение будет отрицательным или нулевым.

Ответ:

$$x\in [2;4]$$

Итоговые ответы:

• Для части а): $x\in (-\mathrm{\infty };-10)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$
• Для части б): $x\in [2;4]$