ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вторая четверть разделена на две равные части точкой M, а третья — на три равные части точками K и Р. Найдите длину дуги:

а) AM;

б) BK;

в) PM;

г) PK.

Вторая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а третья — на три равные части точками $K$ и $P$:

а) Длина дуги $AM$:

$$BM = \frac{BC}{2} = \frac{\pi}{2} : 2 = \frac{\pi}{4};$$ $$AM = AB + BM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4};$$

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б) Длина дуги $BK$:

$$CK = \frac{CD}{3} = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6};$$ $$BK = BC + CK = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в) Длина дуги $PM$:

$$PD = \frac{CD}{3} = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6};$$ $$BM = \frac{BC}{2} = \frac{\pi}{2} : 2 = \frac{\pi}{4};$$ $$PM = PD + DB + BM = \frac{\pi}{6} + \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + 12\pi + 3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12};$$

Ответ: $\frac{17\pi}{12}$.

г) Длина дуги $RK$:

$$KP = \frac{CD}{3} = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6};$$ $$RK = 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{11\pi}{6}$.

Вторая четверть разделена на две равные части точкой $M$.

Пусть у нас есть круг, и его полный круговой путь имеет длину $2\pi$ (так как длина окружности равна $2\pi r$, где радиус $r = 1$).

• Вторая четверть круга — это половина окружности, т.е. её длина равна $\pi$.
• Пункт 1 задания предполагает, что эта вторая четверть разделена на две равные части точкой $M$. Таким образом, длина дуги $AM$ составит половину длины второй четверти, т.е. $\frac{\pi}{2}$.

Задача состоит в вычислении длины дуги $AM$, которая является суммой двух отрезков: от $A$ до $B$ и от $B$ до $M$.

а) Длина дуги $AM$:

Длина дуги $BM$

Мы знаем, что точка $M$ делит вторую четверть круга пополам. Поэтому длина дуги $BM$ равна половине длины второй четверти, то есть:

$$BM = \frac{BC}{2} = \frac{\pi}{2} : 2 = \frac{\pi}{4}$$

Длина дуги $BM$ составляет $\frac{\pi}{4}$.

Длина дуги $AM$

Дуга $AM$ включает в себя две части:

• Дуга от $A$ до $B$, которая составляет $\frac{\pi}{2}$,
• Дуга от $B$ до $M$, которая составляет $\frac{\pi}{4}$.

Сложим эти два отрезка:

$$AM = AB + BM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$AM = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ: длина дуги $AM$ равна $\frac{3\pi}{4}$.

б) Длина дуги $BK$:

Третья четверть круга разделена на три равные части точками $K$ и $P$. Нам нужно найти длину дуги от $B$ до $K$.

Длина дуги $CK$

Третья четверть круга составляет $\frac{\pi}{2}$, и она разделена на три равные части. Длина одной части, а именно дуги $CK$, равна:

$$CK = \frac{CD}{3} = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6}$$

Длина дуги $CK$ составляет $\frac{\pi}{6}$.

Длина дуги $BK$

Дуга $BK$ — это сумма дуги $BC$ и дуги $CK$:

$$BK = BC + CK = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$BK = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$

Ответ: длина дуги $BK$ равна $\frac{2\pi}{3}$.

в) Длина дуги $PM$:

Нам нужно вычислить длину дуги от $P$ до $M$. Для этого разберем длины всех участков пути, которые проходят через точку $P$.

Длина дуги $PD$

Третья четверть разделена на три части точками $K$ и $P$, и длина каждой из этих частей составляет:

$$PD = \frac{CD}{3} = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6}$$

Длина дуги $PD$ равна $\frac{\pi}{6}$.

Длина дуги $DB$

Дуга $DB$ — это остаток от третьей четверти круга, оставшаяся часть после того, как мы убрали дугу $PD$. Длина третьей четверти составляет $\frac{\pi}{2}$, и из неё нужно вычесть длину дуги $PD$:

$$DB = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Длина дуги $DB$ равна $\frac{\pi}{3}$.

Длина дуги $BM$

Из пункта а) мы уже знаем, что длина дуги $BM$ равна $\frac{\pi}{4}$.

Длина дуги $PM$

Теперь мы можем сложить длины всех этих дуг, чтобы получить длину дуги $PM$:

$$PM = PD + DB + BM = \frac{\pi}{6} + \pi + \frac{\pi}{4}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$PM = \frac{2\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$$

Ответ: длина дуги $PM$ равна $\frac{17\pi}{12}$.

г) Длина дуги $RK$:

Теперь нам нужно найти длину дуги $RK$. Для этого будем использовать информацию о длине полного круга.

Длина дуги $KP$

Мы знаем, что третья четверть разделена на три части точками $K$ и $P$, и длина каждой части составляет:

$$KP = \frac{CD}{3} = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6}$$

Длина дуги $KP$ равна $\frac{\pi}{6}$.

Длина дуги $RK$

Дуга $RK$ — это оставшаяся часть окружности после дуги $KP$, то есть:

$$RK = 2\pi — \frac{\pi}{6}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$RK = \frac{12\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: длина дуги $RK$ равна $\frac{11\pi}{6}$.

Итоговые ответы:

• Длина дуги $AM$ = $\frac{3\pi}{4}$.
• Длина дуги $BK$ = $\frac{2\pi}{3}$.
• Длина дуги $PM$ = $\frac{17\pi}{12}$.
• Длина дуги $RK$ = $\frac{11\pi}{6}$.