ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

в) $t$ и $t + \pi$;

г) $t + \pi$ и $t — \pi$

Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

а) $t$ и $-t$;

На числовой прямой:

• Точки симметричны относительно точки $O$;

На числовой окружности:

• Точки симметричны относительно прямой $AB$;

б) $t$ и $t + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

На числовой прямой:

• Точки удалены друг от друга на расстояние $2\pi k$;

На числовой окружности:

• Точки совпадают;

в) $t$ и $t + \pi$;

$(t + \pi) — t = \pi$;

На числовой прямой:

• Точки удалены друг от друга на расстояние $\pi$;

На числовой окружности:

• Точки расположены на разных концах одного диаметра;
• Точки симметричны относительно точки $O$;

г) $t + \pi$ и $t — \pi$;

$(t + \pi) — (t — \pi) = 2\pi$;

На числовой прямой:

• Точки удалены друг от друга на расстояние $2\pi$;

На числовой окружности:

• Точки совпадают.

а) $t$ и $-t$

На числовой прямой:

• Числовая прямая — это линейная ось, на которой точка $O$ (оригин) обычно рассматривается как начало координат.
• Точки $t$ и $-t$ симметричны относительно точки $O$. Это означает, что если мы проведём прямую, проходящую через точку $O$ и перпендикулярную оси, то точки $t$ и $-t$ будут зеркально отражены относительно этой прямой. То есть если $t$ расположена на положительной части оси, то $-t$ будет расположена на отрицательной части, на одинаковом расстоянии от точки $O$.
• Результат: Точки $t$ и $-t$ симметричны относительно точки $O$.

На числовой окружности:

• Числовая окружность — это окружность радиуса 1, на которой числа представлены как углы, отсчитанные от некоторой фиксированной оси (например, оси $AB$).
• Точки $t$ и $-t$ на окружности будут симметричны относительно оси $AB$, если точка $t$ соответствует некоторому углу на окружности, а $-t$ — это угол, отражённый через ось $AB$.
• Результат: Точки $t$ и $-t$ симметричны относительно прямой $AB$.

б) $t$ и $t + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

На числовой прямой:

• Если мы рассматриваем точки $t$ и $t + 2\pi k$ на числовой прямой, то эти точки находятся на определённом расстоянии друг от друга.
• Поскольку $2\pi$ — это период функции синуса и косинуса (при движении по окружности), то $t$ и $t + 2\pi k$ будут удалены друг от друга на расстояние, которое является кратным $2\pi$. Таким образом, разница между точками будет всегда $2\pi k$, где $k$ — целое число.
• Результат: Точки $t$ и $t + 2\pi k$ удалены друг от друга на расстояние $2\pi k$.

На числовой окружности:

• На числовой окружности точки $t$ и $t + 2\pi k$ будут совпадать. Это связано с тем, что $2\pi$ — это полный оборот по окружности, и при добавлении целого числа $k$, умноженного на $2\pi$, точки снова будут совпадать.
• Результат: Точки $t$ и $t + 2\pi k$ совпадают.

в) $t$ и $t + \pi$

На числовой прямой:

• Разница между точками $t$ и $t + \pi$ на числовой прямой будет равна $\pi$. Это значит, что точки удалены друг от друга на расстояние $\pi$ по оси.
• Результат: Точки $t$ и $t + \pi$ удалены друг от друга на расстояние $\pi$.

На числовой окружности:

• Если на числовой окружности точка $t$ соответствует некоторому углу, то точка $t + \pi$ будет на противоположной стороне окружности, так как угол $\pi$ — это половина полного оборота (то есть $180^\circ$).
• Точки $t$ и $t + \pi$ расположены на разных концах диаметра окружности, и они симметричны относительно центра окружности, то есть точки зеркально отражены относительно точки $O$.
• Результат: Точки $t$ и $t + \pi$ расположены на разных концах одного диаметра, и они симметричны относительно точки $O$.

г) $t + \pi$ и $t — \pi$

На числовой прямой:

• Разница между точками $t + \pi$ и $t — \pi$ будет равна $2\pi$, так как:

  $$(t + \pi) — (t — \pi) = \pi + \pi = 2\pi.$$

• Это означает, что точки $t + \pi$ и $t — \pi$ удалены друг от друга на расстояние $2\pi$.
• Результат: Точки $t + \pi$ и $t — \pi$ удалены друг от друга на расстояние $2\pi$.

На числовой окружности:

• На числовой окружности, если точка $t + \pi$ расположена на некотором угле, то точка $t — \pi$ будет на противоположной стороне окружности (так как разница между ними составляет $2\pi$).
• Это означает, что точки $t + \pi$ и $t — \pi$ совпадают, так как полный оборот по окружности (или разница в $2\pi$) возвращает нас в исходную точку.
• Результат: Точки $t + \pi$ и $t — \pi$ совпадают.