ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n;$

б) $t=\frac{2\pi n}{3};$

в) $t=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n;$

г) $t=\frac{\pi n}{3}$

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

$$t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$$ $$t_2 = +\frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6};$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{\pi}{6} \right).$

б) $t = \frac{2\pi n}{3};$

Если $n = 3k$, тогда:

$$t = \frac{2\pi (3k)}{3} = \frac{6\pi k}{3} = 2\pi k = 0;$$

Если $n = 3k + 1$, тогда:

$$t = \frac{2\pi (3k + 1)}{3} = \frac{6\pi k + 2\pi}{3} = 2\pi k + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$

Если $n = 3k + 2$, тогда:

$$t = \frac{2\pi (3k + 2)}{3} = \frac{6\pi k + 4\pi}{3} = 2\pi k + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$

Ответ: $M_1 (0); M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_3 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

в) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Если $n = 2k$, тогда:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3};$$ $$t_1 = \frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = -\frac{\pi}{3} = 2\pi — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3};$$

Если $n = 2k + 1$, тогда:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi (2k + 1) = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \pi \pm \frac{\pi}{3};$$ $$t_3 = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$ $$t_4 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right); M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right); M_3 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_4 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

г) $t = \frac{\pi n}{3};$

Если $n = 6k$, тогда:

$$t = \frac{\pi (6k)}{3} = \frac{6\pi k}{3} = 2\pi k = 0;$$

Если $n = 6k + 1$, тогда:

$$t = \frac{\pi (6k + 1)}{3} = \frac{6\pi k + \pi}{3} = 2\pi k + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$$

Если $n = 6k + 2$, тогда:

$$t = \frac{\pi (6k + 2)}{3} = \frac{6\pi k + 2\pi}{3} = 2\pi k + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$

Если $n = 6k + 3$, тогда:

$$t = \frac{\pi (6k + 3)}{3} = \frac{6\pi k + 3\pi}{3} = 2\pi k + \frac{3\pi}{3} = \pi;$$

Если $n = 6k + 4$, тогда:

$$t = \frac{\pi (6k + 4)}{3} = \frac{6\pi k + 4\pi}{3} = 2\pi k + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$

Если $n = 6k + 5$, тогда:

$$t = \frac{\pi (6k + 5)}{3} = \frac{6\pi k + 5\pi}{3} = 2\pi k + \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3};$$

Ответ: $M_1 (0); M_2 \left( \frac{\pi}{3} \right); M_3 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_4 (\pi); M_5 \left( \frac{4\pi}{3} \right); M_6 \left( \frac{5\pi}{3} \right).$

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Это уравнение задает все возможные значения $t$, которые соответствуют угловым значениям, определяющим периодичность функции с периодом $2\pi$, где $n$ — целое число.

Пусть $n$ — целое число, тогда:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Рассмотрим два случая для $t_1$ и $t_2$ для каждого значения $n$.

Для $t_1$:

$$t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Для $n = 0$ получаем:

$$t_1 = -\frac{\pi}{6}.$$

Однако, значение $t_1 = -\frac{\pi}{6}$ можно привести к положительному углу в пределах одного полного оборота (от $0$ до $2\pi$), добавив $2\pi$:

$$t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{12\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.$$

Таким образом, для $n = 0$ мы получаем $t_1 = \frac{11\pi}{6}$.

Для $t_2$:

$$t_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Для $n = 0$ получаем:

$$t_2 = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$.

б) $t = \frac{2\pi n}{3}$

Это уравнение описывает значения углов, которые соответствуют периодичности с периодом $2\pi$, деленным на 3. Рассмотрим все возможные случаи для разных значений $n$.

1. Если $n = 3k$, где $k$ — целое число:

$$t = \frac{2\pi (3k)}{3} = \frac{6\pi k}{3} = 2\pi k.$$

Так как $2\pi k$ — это кратное $2\pi$, то для $k = 0$ получаем:

$$t = 0.$$

2. Если $n = 3k + 1$:

$$t = \frac{2\pi (3k + 1)}{3} = \frac{6\pi k + 2\pi}{3} = 2\pi k + \frac{2\pi}{3}.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \frac{2\pi}{3}.$$

3. Если $n = 3k + 2$:

$$t = \frac{2\pi (3k + 2)}{3} = \frac{6\pi k + 4\pi}{3} = 2\pi k + \frac{4\pi}{3}.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \frac{4\pi}{3}.$$

Ответ: $M_1 (0); M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_3 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

в) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь рассмотрим более сложное уравнение с переменной $n$, где присутствует период $\pi$.

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

1. Если $n = 2k$, где $k$ — целое число:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k.$$

Для этого случая два значения:

• $t_1 = \frac{\pi}{3}$,
• $t_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right); M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right)$.

2. Если $n = 2k + 1$:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi (2k + 1) = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi.$$

Для этого случая также два значения:

• $t_3 = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$,
• $t_4 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $M_3 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_4 \left( \frac{4\pi}{3} \right)$.

Ответ для этого случая: $M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right); M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right); M_3 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_4 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

г) $t = \frac{\pi n}{3}$

Теперь рассмотрим выражение $t = \frac{\pi n}{3}$, где $n$ — целое число. Это уравнение тоже описывает периодичность с периодом $2\pi$, но деленным на 3.

1. Если $n = 6k$, где $k$ — целое число:

$$t = \frac{\pi (6k)}{3} = \frac{6\pi k}{3} = 2\pi k.$$

Так как $t = 2\pi k$, для $k = 0$ получаем:

$$t = 0.$$

2. Если $n = 6k + 1$:

$$t = \frac{\pi (6k + 1)}{3} = \frac{6\pi k + \pi}{3} = 2\pi k + \frac{\pi}{3}.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \frac{\pi}{3}.$$

3. Если $n = 6k + 2$:

$$t = \frac{\pi (6k + 2)}{3} = \frac{6\pi k + 2\pi}{3} = 2\pi k + \frac{2\pi}{3}.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \frac{2\pi}{3}.$$

4. Если $n = 6k + 3$:

$$t = \frac{\pi (6k + 3)}{3} = \frac{6\pi k + 3\pi}{3} = 2\pi k + \frac{3\pi}{3} = \pi.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \pi.$$

5. Если $n = 6k + 4$:

$$t = \frac{\pi (6k + 4)}{3} = \frac{6\pi k + 4\pi}{3} = 2\pi k + \frac{4\pi}{3}.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \frac{4\pi}{3}.$$

6. Если $n = 6k + 5$:

$$t = \frac{\pi (6k + 5)}{3} = \frac{6\pi k + 5\pi}{3} = 2\pi k + \frac{5\pi}{3}.$$

Для $k = 0$ получаем:

$$t = \frac{5\pi}{3}.$$

Ответ: $M_1 (0); M_2 \left( \frac{\pi}{3} \right); M_3 \left( \frac{2\pi}{3} \right); M_4 (\pi); M_5 \left( \frac{4\pi}{3} \right); M_6 \left( \frac{5\pi}{3} \right).$