ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

б) $t=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$

в) $t=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{3}+\pi n$

г) $t=-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3}$

а) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Если $n = 2k$, тогда:

$$t = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi(2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6};$$

Если $n = 2k + 1$, тогда:

$$t = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi(2k + 1) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{5\pi}{6} \right).$

б) $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi + 2\pi n}{4};$

Если $n = 4k$, тогда:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4};$$

Если $n = 4k + 1$, тогда:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k + 1)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4};$$

Если $n = 4k + 2$, тогда:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k + 1)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k = \frac{5\pi}{4};$$

Если $n = 4k + 3$, тогда:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k + 3)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k + 6\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k = \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right); M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right); M_3 \left( \frac{5\pi}{4} \right); M_4 \left( \frac{7\pi}{4} \right).$

в) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Если $n = 2k$, тогда:

$$t = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3};$$

Если $n = 2k + 1$, тогда:

$$t = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right); M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

г) $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$

Если $n = 3k$, тогда:

$$t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3k)}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$$

Если $n = 3k + 1$, тогда:

$$t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3k + 1)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$$

Если $n = 3k + 2$, тогда:

$$t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3k + 2)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6};$$

Ответ: $M_1 \left( \frac{11\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{\pi}{2} \right); M_3 \left( \frac{7\pi}{6} \right).$

а) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

Это выражение описывает последовательность значений угла, зависящих от целого числа $n$, которое определяет четность или нечетность значения. Процесс решения сводится к определению значений для четных и нечетных $n$.

1) Если $n = 2k$, где $k$ — целое число:

Подставим $n = 2k$ в выражение для $t$:

$$t = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi(2k).$$

Так как $(-1)^{2k} = 1$ для любого целого $k$, выражение упрощается до:

$$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k.$$

Теперь смотрим на результат. Так как $2\pi k$ — это целое число, кратное $2\pi$, то значение $t$ всегда будет равно $\frac{\pi}{6}$ при $k = 0$, и с увеличением $k$ значения $t$ будут изменяться на кратные $2\pi$, но в пределах одного полного круга (от $0$ до $2\pi$) остаётся:

$$t = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{\pi}{6}$.

2) Если $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число:

Теперь подставим $n = 2k + 1$ в исходное выражение:

$$t = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi(2k + 1).$$

Так как $(-1)^{2k+1} = -1$, получаем:

$$t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi.$$

Упростим:

$$t = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{5\pi}{6} \right).$

б) $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi + 2\pi n}{4}$

Это выражение описывает последовательность значений углов с периодом $2\pi$. Рассмотрим, как для разных значений $n$ будет изменяться $t$.

1) Если $n = 4k$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 4k$ в выражение для $t$:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k.$$

Здесь значение $2\pi k$ не влияет на результат, так как оно просто добавляет целые кратные $2\pi$. Для $k = 0$, получаем:

$$t = \frac{\pi}{4}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{\pi}{4}$.

2) Если $n = 4k + 1$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 4k + 1$:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k + 1)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k.$$

Для $k = 0$, получаем:

$$t = \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{3\pi}{4}$.

3) Если $n = 4k + 2$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 4k + 2$:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k + 2)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k.$$

Для $k = 0$, получаем:

$$t = \frac{5\pi}{4}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{5\pi}{4}$.

4) Если $n = 4k + 3$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 4k + 3$:

$$t = \frac{\pi + 2\pi(4k + 3)}{4} = \frac{\pi + 8\pi k + 6\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k.$$

Для $k = 0$, получаем:

$$t = \frac{7\pi}{4}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right); M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right); M_3 \left( \frac{5\pi}{4} \right); M_4 \left( \frac{7\pi}{4} \right).$

в) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$

Это выражение также задаёт углы, зависящие от четности числа $n$. Рассмотрим значения для четных и нечетных $n$.

1) Если $n = 2k$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 2k$ в выражение для $t$:

$$t = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k).$$

Так как $(-1)^{2k+1} = -1$, получаем:

$$t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k.$$

Для $k = 0$, получаем:

$$t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{5\pi}{3}$.

2) Если $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 2k + 1$:

$$t = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1).$$

Так как $(-1)^{2k+2} = 1$, получаем:

$$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi.$$

Упростим:

$$t = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right); M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

г) $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Это выражение описывает углы, зависимые от значения $n$, делённого на 3. Рассмотрим возможные значения для $n$.

1) Если $n = 3k$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 3k$ в выражение для $t$:

$$t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3k)}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k.$$

Для $k = 0$, получаем:

$$t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{11\pi}{6}$.

2) Если $n = 3k + 1$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 3k + 1$:

$$t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3k + 1)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$$

Упростим:

$$t = \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{\pi}{2}$.

3) Если $n = 3k + 2$, где $k$ — целое число:

Подставляем $n = 3k + 2$:

$$t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3k + 2)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi k.$$

Упростим:

$$t = \frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.$$

Ответ для данного случая: $t = \frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $M_1 \left( \frac{11\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{\pi}{2} \right); M_3 \left( \frac{7\pi}{6} \right).$

Итоговые ответы:

а) $M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{5\pi}{6} \right).$

б) $M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right); M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right); M_3 \left( \frac{5\pi}{4} \right); M_4 \left( \frac{7\pi}{4} \right).$

в) $M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right); M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right).$

г) $M_1 \left( \frac{11\pi}{6} \right); M_2 \left( \frac{\pi}{2} \right); M_3 \left( \frac{7\pi}{6} \right).$