ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей (рис. 44). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

а) A и С;

б) B и D;

в) M и P;

г) N и Q.

Числовая окружность разделена на восемь равных частей, составить формулу для всех чисел, соответствующих заданным точкам;

Длина каждой дуги:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4};$$

а) $A$ и $C$;

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = 2\pi n = \pi(2n);$$ $$c = \pi = \pi + 2\pi n = \pi + \pi(2n) = \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \pi k$.

б) $B$ и $D$;

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n);$$ $$d = \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

в) $M$ и $P$;

$$m = \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi(2n);$$ $$p = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

г) $N$ и $Q$;

$$n = \pi — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1);$$ $$q = -\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n);$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

В этом задании мы работаем с числовой окружностью, разделённой на восемь равных частей. Мы должны составить формулы для всех чисел, соответствующих заданным точкам. Рассмотрим каждую точку в отдельности и разберемся, как получить соответствующие значения углов на окружности.

Длина каждой дуги

Длина каждой дуги на окружности, если окружность разделена на 8 равных частей, равна:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, каждый угол между двумя соседними точками на окружности равен $\frac{\pi}{4}$.

а) Точки $A$ и $C$:

Точки $A$ и $C$ расположены на числовой окружности таким образом, что одна из них — это начало (точка $A$ соответствует углу $0$), а вторая — на угле $\pi$, то есть прямо противоположна начальной точке.

Точка $A$:
Точка $A$ находится на угле $0$, то есть это начало отсчета. Можно записать её координату как:

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = 2\pi n = \pi(2n),$$

где $n$ — это целое число, которое определяет возможные повороты на целые кратные $2\pi$. Таким образом, точка $A$ соответствует углам, которые равны $\pi(2n)$, где $n$ — целое число.

Точка $C$:
Точка $C$ находится на угле $\pi$, что является половиной полного оборота на окружности. Формулу для этой точки можно записать следующим образом:

$$c = \pi = \pi + 2\pi n = \pi + \pi(2n) = \pi(2n + 1),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $C$.

Ответ: $t = \pi k$, где $k$ — целое число.

б) Точки $B$ и $D$:

Точки $B$ и $D$ расположены на окружности таким образом, что они находятся через четверть окружности друг от друга, то есть на углах $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Точка $B$:
Точка $B$ расположена на угле $\frac{\pi}{2}$, что является четвертью полного оборота на окружности. Формула для этой точки:

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $B$.

Точка $D$:
Точка $D$ находится на угле $\frac{3\pi}{2}$, что соответствует три четверти окружности. Формула для этой точки:

$$d = \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $D$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

в) Точки $M$ и $P$:

Точки $M$ и $P$ находятся на углах $\frac{\pi}{4}$ и $\pi + \frac{\pi}{4}$ соответственно. Они расположены через одну восьмую окружности друг от друга.

Точка $M$:
Точка $M$ расположена на угле $\frac{\pi}{4}$, что составляет одну восьмую окружности. Формула для этой точки:

$$m = \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi(2n),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $M$.

Точка $P$:
Точка $P$ находится на угле $\pi + \frac{\pi}{4}$, что составляет одну восьмую окружности от точки $M$, с учётом одного полного оборота. Формула для этой точки:

$$p = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $P$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число.

г) Точки $N$ и $Q$:

Точки $N$ и $Q$ расположены на углах $\pi — \frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$ соответственно, что означает, что они находятся через одну восьмую окружности друг от друга, но с учётом перехода через точку $0$ (начало отсчета).

Точка $N$:
Точка $N$ находится на угле $\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Формула для этой точки:

$$n = \pi — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $N$.

Точка $Q$:
Точка $Q$ находится на угле $-\frac{\pi}{4}$, что является аналогом угла $\frac{7\pi}{4}$, расположенного на противоположной стороне окружности. Формула для этой точки:

$$q = -\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n),$$

где $n$ — целое число. Это выражение описывает все углы, соответствующие точке $Q$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Итоговые ответы:

а) $t = \pi k$, где $k$ — целое число.

б) $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

в) $t = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число.

г) $t = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число.