ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $M, N, P, Q$;

б) $A, M, B, N, C, P, D, Q$

Числовая окружность разделена на восемь равных частей, составить формулу для всех чисел, соответствующих заданным точкам;

Длина каждой дуги:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4};$$

а) $M, N, P, Q$;

Точка $M$:
Точка $M$ находится на угле $\frac{\pi}{4}$. Формула для этой точки:

$$m = \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n)}{2}.$$

Точка $N$:
Точка $N$ расположена на угле $\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Формула для этой точки:

$$n = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n+1)}{2}.$$

Точка $P$:
Точка $P$ находится на угле $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Формула для этой точки:

$$p = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n+2)}{2}.$$

Точка $Q$:
Точка $Q$ находится на угле $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Формула для этой точки:

$$q = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{(4n+3)}{2}.$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

б) $A, M, B, N, C, P, D, Q$;

Расстояние между двумя соседними точками всегда равно:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $t = \frac{\pi n}{4}.$

Задача состоит в том, чтобы составить формулы для всех чисел, соответствующих заданным точкам на числовой окружности, разделённой на восемь равных частей. Для каждой дуги окружности имеется длина $l = \frac{\pi}{4}$, что даёт углы, соответствующие каждой из точек.

Длина каждой дуги

Числовая окружность разделена на 8 равных частей, соответственно длина каждой дуги:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.$$

Это означает, что между любыми двумя соседними точками на окружности углы будут увеличиваться на $\frac{\pi}{4}$. Мы будем использовать это для того, чтобы составить формулы для всех точек.

а) Точки $M, N, P, Q$:

1. Точка $M$:
Точка $M$ расположена на угле $\frac{\pi}{4}$, что соответствует одной восьмой окружности. Мы можем записать её координату как:

$$m = \frac{\pi}{4}.$$

Далее, чтобы учесть все возможные значения $m$ с учётом периодичности (период окружности — $2\pi$), мы добавляем целые кратные $2\pi n$:

$$m = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n)}{2},$$

где $n$ — целое число. Это позволяет учесть все возможные значения угла для точки $M$, с учётом периодичности.

2. Точка $N$:
Точка $N$ расположена на угле $\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, что является второй точкой после $M$. Мы можем записать её как:

$$n = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Теперь, для учёта всех возможных значений угла для точки $N$, добавляем $2\pi n$ к выражению для точки $N$:

$$n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n+1)}{2}.$$

Таким образом, для точки $N$ мы получаем все углы, соответствующие её положению, с учётом периодичности.

3. Точка $P$:
Точка $P$ расположена на угле $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, что является третьей точкой на окружности. Формула для её угла будет следующей:

$$p = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.$$

Аналогично предыдущим точкам, чтобы учесть все возможные значения угла для точки $P$, добавляем целые кратные $2\pi n$:

$$p = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n+2)}{2}.$$

Это выражение даёт все возможные углы, соответствующие точке $P$.

4. Точка $Q$:
Точка $Q$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$, что является четвёртой точкой на окружности. Формула для угла этой точки:

$$q = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.$$

Для учёта всех возможных значений угла для точки $Q$ добавляем $2\pi n$:

$$q = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{(4n+3)}{2}.$$

Таким образом, мы учли все возможные значения углов для точки $Q$.

Ответ для части (а):

Для всех точек $M, N, P, Q$ мы можем выразить их углы через параметр $k$, где $k$ — целое число. Формула для всех точек:

$$t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Точки $A, M, B, N, C, P, D, Q$:

Теперь давайте рассмотрим точки $A, M, B, N, C, P, D, Q$, которые представляют собой все восьмые части окружности. Мы знаем, что расстояние между любыми двумя соседними точками на окружности — это $\frac{\pi}{4}$, что уже было указано в задаче. Формула для всех точек окружности будет следующей:

$$t = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точкам на окружности, разделённой на 8 равных частей. В данном случае $n$ принимает все целые значения, начиная от 0 и продолжая по окружности.

Ответ для части (б):

$$t = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},$ где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $t = \frac{\pi n}{4},$ где $n \in \mathbb{Z}$.