ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 45). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

а) M и K;

б) P и E;

в) P и L;

г) M и F.

Числовая окружность разделена на 12 равных частей, составить формулу для всех чисел, соответствующих заданным точкам;

Длина каждой дуги:

$$l = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6};$$

а) $M$ и $K$;

$$m = \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n);$$ $$k = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + \pi k.$

б) $P$ и $E$;

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi(2n);$$ $$e = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3} + \pi k.$

в) $P$ и $L$;

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$l = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

г) $M$ и $F$;

$$m = \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$f = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$

Длина каждой дуги

Числовая окружность разделена на 12 равных частей. Следовательно, длина каждой дуги (угловое расстояние между двумя соседними точками) будет:

$$l = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.$$

Это значит, что между любыми двумя соседними точками на окружности угол между ними будет равен $\frac{\pi}{6}$.

а) Точки $M$ и $K$:

1. Точка $M$:

Точка $M$ находится на угле $\frac{\pi}{6}$, то есть через одну шестую окружности от начала отсчета. Формула для этой точки:

$$m = \frac{\pi}{6}.$$

Так как окружность имеет период $2\pi$, мы можем учесть все возможные углы для точки $M$, добавив кратные $2\pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, формула для $M$ будет:

$$m = \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n),$$

где $n$ — целое число. Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $M$.

2. Точка $K$:

Точка $K$ расположена через $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$, то есть на противоположной стороне от точки $M$. Формула для этой точки будет:

$$k = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n.$$

Теперь, используя тот же принцип периодичности, добавляем $2\pi n$ для учёта всех возможных значений угла для точки $K$:

$$k = \frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1).$$

Таким образом, мы получаем все возможные углы, соответствующие точке $K$.

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{6} + \pi k.$$

б) Точки $P$ и $E$:

1. Точка $P$:

Точка $P$ находится на угле $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$, то есть на угле через одну треть окружности от точки $M$. Формула для этой точки будет:

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.$$

Чтобы учесть все возможные углы для точки $P$, добавляем $2\pi n$:

$$p = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi(2n).$$

Таким образом, получаем все углы, соответствующие точке $P$.

2. Точка $E$:

Точка $E$ расположена через $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$, то есть на угле через две трети окружности от точки $M$. Формула для этой точки будет:

$$e = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}.$$

Для учёта всех возможных значений угла для точки $E$, добавляем $2\pi n$:

$$e = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi(2n + 1).$$

Таким образом, получаем все углы, соответствующие точке $E$.

Ответ:

$$t = \frac{2\pi}{3} + \pi k.$$

в) Точки $P$ и $L$:

1. Точка $P$:

Точка $P$ уже рассматривалась в пункте б), и её угол равен $\frac{2\pi}{3}$. Повторим формулу:

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.$$

Теперь добавляем $2\pi n$ для учёта всех возможных углов:

$$p = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

2. Точка $L$:

Точка $L$ находится на угле $-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$, что означает, что она расположена на противоположной стороне окружности. Формула для этой точки будет:

$$l = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}.$$

Для учёта всех возможных углов для точки $L$, добавляем $2\pi n$:

$$l = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Так как для $L$ мы можем иметь как положительные, так и отрицательные углы, записываем это как:

$$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) Точки $M$ и $F$:

1. Точка $M$:

Точка $M$ уже была рассмотрена в пункте а) и её угол равен $\frac{\pi}{6}$. Формула для этой точки:

$$m = \frac{\pi}{6}.$$

Теперь, чтобы учесть все возможные углы, добавляем $2\pi n$:

$$m = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

2. Точка $F$:

Точка $F$ расположена на угле $-\frac{\pi}{6}$, что означает, что она находится на противоположной стороне окружности. Формула для этой точки будет:

$$f = -\frac{\pi}{6}.$$

Для учёта всех возможных углов для точки $F$, добавляем $2\pi n$:

$$f = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Так как для $F$ мы можем иметь как положительные, так и отрицательные углы, записываем это как:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ — целое число.

б) $t = \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k$ — целое число.

в) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

г) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.