ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $A, P, L$

б) $B, K, F$

в) $F, M, Q, K$

г) $A,N,P,C,L,E$$A, N, P, C, L, E$

Числовая окружность разделена на 12 равных частей, составить формулу для всех чисел, соответствующих заданным точкам;

Длина каждой дуги:

$$l = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6};$$

а) $A, P, L$;

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = 2\pi n = \frac{2\pi(3n)}{3};$$ $$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi(3n + 1)}{3};$$ $$l = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi(3n + 2)}{3};$$

Ответ: $t = \frac{2\pi k}{3}.$

б) $B, K, F$;

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi(3n)}{3};$$ $$k = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi(3n + 1)}{3};$$ $$f = 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi(3n + 2)}{3};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}.$

в) $F, M, Q, K$;

$$f = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n);$$ $$m = \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n);$$ $$q = \pi — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1);$$ $$k = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k.$

г) $A, N, P, C, L, E$;

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = \frac{\pi(6n)}{3};$$ $$n = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 1)}{3};$$ $$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 2)}{3};$$ $$c = \pi = \frac{3\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 3)}{3};$$ $$l = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 4)}{3};$$ $$e = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 5)}{3};$$

Ответ: $t = \frac{\pi k}{3}.$

Длина каждой дуги

Числовая окружность разделена на 12 равных частей, и длина каждой дуги равна:

$$l = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.$$

Это означает, что угол между двумя соседними точками на окружности составляет $\frac{\pi}{6}$.

Теперь рассмотрим каждую группу точек и их соответствующие формулы.

а) Точки $A, P, L$

1. Точка $A$:

Точка $A$ расположена на угле $0$, то есть в начале отсчета. Формула для точки $A$:

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = 2\pi n = \frac{2\pi(3n)}{3},$$

где $n$ — целое число. Это выражение даёт все углы для точки $A$, с учётом периодичности $2\pi$.

2. Точка $P$:

Точка $P$ расположена на угле $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$, то есть через одну треть окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi(3n + 1)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $P$.

3. Точка $L$:

Точка $L$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$, то есть на угле через две трети окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$l = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi(3n + 2)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $L$.

Ответ для части (а):

$$t = \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Точки $B, K, F$

1. Точка $B$:

Точка $B$ расположена на угле $\frac{\pi}{2}$, то есть через одну четверть окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi(3n)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $B$.

2. Точка $K$:

Точка $K$ расположена на угле $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$, то есть через половину окружности от точки $A$ с добавлением $\frac{\pi}{6}$. Формула для этой точки:

$$k = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi(3n + 1)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $K$.

3. Точка $F$:

Точка $F$ расположена на угле $2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$, то есть на угле через три четверти окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$f = 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi(3n + 2)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $F$.

Ответ для части (б):

$$t = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

в) Точки $F, M, Q, K$

1. Точка $F$:

Точка $F$ расположена на угле $-\frac{\pi}{6}$, то есть через небольшое отрицательное отклонение от точки $A$. Формула для этой точки:

$$f = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n).$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $F$.

2. Точка $M$:

Точка $M$ расположена на угле $\frac{\pi}{6}$, то есть через одну шестую окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$m = \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n).$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $M$.

3. Точка $Q$:

Точка $Q$ расположена на угле $\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то есть на противоположной стороне от точки $M$. Формула для этой точки:

$$q = \pi — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1).$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $Q$.

4. Точка $K$:

Точка $K$ расположена на угле $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$, то есть через половину окружности от точки $A$ с добавлением $\frac{\pi}{6}$. Формула для этой точки:

$$k = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1).$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $K$.

Ответ для части (в):

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

г) Точки $A, N, P, C, L, E$

1. Точка $A$:

Точка $A$ расположена на угле $0$, то есть в начале отсчета. Формула для этой точки:

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = \frac{\pi(6n)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы для точки $A$, с учётом периодичности $2\pi$.

2. Точка $N$:

Точка $N$ расположена на угле $\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$, то есть через одну шестую окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$n = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 1)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $N$.

3. Точка $P$:

Точка $P$ расположена на угле $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$, то есть через одну треть окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 2)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $P$.

4. Точка $C$:

Точка $C$ расположена на угле $\pi = \frac{3\pi}{3}$, то есть на половине окружности. Формула для этой точки:

$$c = \pi = \frac{3\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 3)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $C$.

5. Точка $L$:

Точка $L$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$, то есть на угле через пять шестых окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$l = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 4)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $L$.

6. Точка $E$:

Точка $E$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$, то есть на угле через пять шестых окружности от точки $A$. Формула для этой точки:

$$e = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi(6n + 5)}{3}.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $E$.

Ответ для части (г):

$$t = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$

б) $t = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$

в) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$

г) $t = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$