ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (рис. 44) :

а) $AB$;

б) $AB \cup CD$;

в) $BD$;

г) $BC \cup DA$

Найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге или объединению дуг;

а) $AB$;

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$

б) $AB \cup CD$;

Первая дуга:

$$a = 2\pi n;$$ $$b = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\pi(2n) < t_1 < \frac{\pi}{2} + \pi(2n);$$

Вторая дуга:

$$c = \pi + 2\pi n;$$ $$d = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\pi + 2\pi n < t_2 < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\pi(2n + 1) < t_2 < \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k.$

в) $BD$;

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$d = \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$

г) $BC \cup DA$;

Первая дуга:

$$b = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$c = \pi + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t_1 < \pi + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1) < t_1 < \pi(2n + 1);$$

Вторая дуга:

$$d = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$a = 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t_2 < 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi(2n) < t_2 < \pi(2n);$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \pi k.$

Общие принципы

Для каждой дуги на окружности мы будем искать формулы для точек, принадлежащих этой дуге, и выражать их в виде $t$ с учётом периодичности $2\pi n$, где $n$ — целое число. Дуга на окружности — это промежуток значений углов, поэтому для каждой дуги мы будем искать верхнюю и нижнюю границу значений углов, которые удовлетворяют условию принадлежности этой дуге.

а) $AB$

Дуга $AB$ — это участок окружности между точками $A$ и $B$, где точка $A$ соответствует углу $0$, а точка $B$ — углу $\frac{\pi}{2}$.

Точка $A$:
Точка $A$ расположена на угле $0$. Поскольку окружность имеет периодичность $2\pi$, точка $A$ может быть представлена формулой:

$$a = 0 = 0 + 2\pi n = 2\pi n.$$

Это выражение даёт все значения углов, соответствующие точке $A$, с учётом периодичности окружности.

Точка $B$:
Точка $B$ расположена на угле $\frac{\pi}{2}$. Формула для этой точки будет:

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $B$, с учётом периодичности.

Интервал между $A$ и $B$:
Учитывая, что точки $A$ и $B$ определяют дугу от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, то все углы $t$, принадлежащие дуге $AB$, будут лежать в интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, с учётом периодичности. То есть:

$$2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ для части (а):

$$2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $AB \cup CD$

1) Первая дуга $AB$:

Как уже было сказано, точка $A$ находится на угле $0$, а точка $B$ на угле $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, для первой дуги (от $A$ до $B$) угол $t$ будет удовлетворять следующему интервалу:

$$2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Мы можем переписать это выражение в следующем виде:

$$\pi(2n) < t_1 < \frac{\pi}{2} + \pi(2n).$$

2) Вторая дуга $CD$:

Теперь рассмотрим вторую дугу $CD$, где точка $C$ расположена на угле $\pi$, а точка $D$ — на угле $\frac{3\pi}{2}$.

• Точка $C$:
  Точка $C$ расположена на угле $\pi$, и формула для неё будет:

  $$c = \pi + 2\pi n.$$

• Точка $D$:
  Точка $D$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2}$, и формула для неё будет:

  $$d = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Для второй дуги $CD$ углы $t$, принадлежащие этой дуге, будут находиться в интервале от $\pi + 2\pi n$ до $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$:

$$\pi + 2\pi n < t_2 < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Мы можем переписать это как:

$$\pi(2n + 1) < t_2 < \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1).$$

Ответ для части (б):

$$\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k.$$

в) $BD$

1) Точка $B$:

Точка $B$ расположена на угле $\frac{\pi}{2}$, и её формула будет:

$$b = \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

2) Точка $D$:

Точка $D$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2}$, и её формула будет:

$$d = \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Таким образом, дуга $BD$ представляет собой интервал между углами $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$, и углы $t$, принадлежащие этой дуге, будут удовлетворять следующему интервалу:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ для части (в):

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

г) $BC \cup DA$

1) Первая дуга $BC$:

Точка $B$ находится на угле $\frac{\pi}{2}$, а точка $C$ — на угле $\pi$. Следовательно, углы $t$, принадлежащие первой дуге $BC$, будут удовлетворять следующему интервалу:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t_1 < \pi + 2\pi n.$$

Мы можем переписать это как:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1) < t_1 < \pi(2n + 1).$$

2) Вторая дуга $DA$:

Точка $D$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2}$, а точка $A$ — на угле $0$. Следовательно, углы $t$, принадлежащие второй дуге $DA$, будут удовлетворять следующему интервалу:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t_2 < 2\pi n.$$

Мы можем переписать это как:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi(2n) < t_2 < \pi(2n).$$

Ответ для части (г):

$$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \pi k.$$

Итоговые ответы:

а) $2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б) $\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

в) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

г) $-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \pi k$.