ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $MN$;

б) $NM$;

в) $BP$;

г) $PB$

Найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге или объединению дуг;

Длина каждой наименьшей дуги:

$$l=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4};$$

а) $MN$;

$$m=\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n;$$$$n=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$

б) $NM$;

$$n=-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}+2\pi n;$$$$m=\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{5\pi }{4}<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$

в) $BP$;

$$b=\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$$$p=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$

г) $PB$;

$$p=-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n;$$$$b=\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{3\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$

Общие принципы

Каждая точка на окружности соответствует углу, измеряемому от положительного направления оси $OX$ (считаем, что начало отсчета — это угол $0$, который совпадает с точкой $A$ на числовой окружности). Все углы, которые мы будем рассматривать, имеют периодичность $2\pi$, что означает, что после полного оборота на окружности углы повторяются. В этом контексте на окружности мы будем искать все числа $t$, соответствующие точкам, принадлежащим указанным дугам или объединению дуг, используя интервалы значений углов.

Длина каждой наименьшей дуги

Период окружности $2\pi$ делится на 8 равных частей, так что длина каждой дуги (угловое расстояние между двумя соседними точками) равна:

$$l=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Это означает, что каждое изменение угла на $\frac{\pi }{4}$ соответствует следующей точке на окружности.

Теперь давайте рассмотрим все точки и дуги, указанные в задаче.

а) $MN$

Дуга $MN$ — это участок окружности от точки $M$ до точки $N$, где точка $M$ расположена на угле $\frac{\pi }{4}$, а точка $N$ — на угле $\frac{3\pi }{4}$.

Точка $M$:
Точка $M$ находится на угле $\frac{\pi }{4}$. Формула для угла $m$, соответствующего точке $M$:

$$m=\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n,$$

где $n$ — целое число. Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $M$, с учётом периодичности окружности.

Точка $N$:
Точка $N$ расположена на угле $\frac{3\pi }{4}$. Формула для угла $n$, соответствующего точке $N$:

$$n=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $N$.

Интервал между точками $M$ и $N$:
Учитывая, что точка $M$ находится на угле $\frac{\pi }{4}$, а точка $N$ — на угле $\frac{3\pi }{4}$, все углы $t$, принадлежащие дуге $MN$, будут лежать в интервале от $\frac{\pi }{4}$ до $\frac{3\pi }{4}$. С учётом периодичности $2\pi n$ (где $n$ — целое число) интервал будет следующим:

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Ответ для части (а):

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

б) $NM$

Дуга $NM$ — это участок окружности от точки $N$ до точки $M$, где точка $N$ расположена на угле $\frac{3\pi }{4}$, а точка $M$ — на угле $\frac{\pi }{4}$.

Точка $N$:
Точка $N$ находится на угле $\frac{3\pi }{4}$. Формула для угла $n$, соответствующего точке $N$:

$$n=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Точка $M$:
Точка $M$ находится на угле $\frac{\pi }{4}$. Формула для угла $m$, соответствующего точке $M$:

$$m=\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Интервал между точками $N$ и $M$:
Учитывая, что точка $N$ находится на угле $\frac{3\pi }{4}$, а точка $M$ — на угле $\frac{\pi }{4}$, все углы $t$, принадлежащие дуге $NM$, будут лежать в интервале от $\frac{3\pi }{4}$ до $\frac{\pi }{4}$. Поскольку мы движемся по окружности в обратном направлении, интервал будет:

$$-\frac{5\pi }{4}<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Ответ для части (б):

$$-\frac{5\pi }{4}<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

в) $BP$

Дуга $BP$ — это участок окружности от точки $B$ до точки $P$, где точка $B$ расположена на угле $\frac{\pi }{2}$, а точка $P$ — на угле $\frac{5\pi }{4}$.

Точка $B$:
Точка $B$ находится на угле $\frac{\pi }{2}$. Формула для угла $b$, соответствующего точке $B$:

$$b=\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

Точка $P$:
Точка $P$ расположена на угле $\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$. Формула для угла $p$, соответствующего точке $P$:

$$p=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Интервал между точками $B$ и $P$:
Учитывая, что точка $B$ находится на угле $\frac{\pi }{2}$, а точка $P$ — на угле $\frac{5\pi }{4}$, все углы $t$, принадлежащие дуге $BP$, будут лежать в интервале от $\frac{\pi }{2}$ до $\frac{5\pi }{4}$. С учётом периодичности $2\pi n$:

$$\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Ответ для части (в):

$$\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

г) $PB$

Дуга $PB$ — это участок окружности от точки $P$ до точки $B$, где точка $P$ расположена на угле $\frac{5\pi }{4}$, а точка $B$ — на угле $\frac{\pi }{2}$.

Точка $P$:
Точка $P$ находится на угле $\frac{5\pi }{4}$. Формула для угла $p$, соответствующего точке $P$:

$$p=\frac{5\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Точка $B$:
Точка $B$ находится на угле $\frac{\pi }{2}$. Формула для угла $b$, соответствующего точке $B$:

$$b=\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

Интервал между точками $P$ и $B$:
Учитывая, что точка $P$ находится на угле $\frac{5\pi }{4}$, а точка $B$ — на угле $\frac{\pi }{2}$, все углы $t$, принадлежащие дуге $PB$, будут лежать в интервале от $\frac{5\pi }{4}$ до $\frac{\pi }{2}$, то есть по окружности в обратном направлении. Интервал будет:

$$-\frac{3\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

Ответ для части (г):

$$-\frac{3\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$

б) $-\frac{5\pi }{4}<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$

в) $\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$

г) $-\frac{3\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$