ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $QA \cup NC$;

б) $AN \cup CQ$;

в) $MN \cup PQ$;

г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ$

Найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге или объединению дуг;

Длина каждой наименьшей дуги:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4};$$

а) $QA \cup NC$;

Первая дуга:

$$q = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$a = 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + \pi(2n) < t_1 < \pi(2n);$$

Вторая дуга:

$$n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$c = \pi + 2\pi n;$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \pi + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) < t_2 < \pi(2n + 1);$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \pi k$.

б) $AN \cup CQ$;

Первая дуга:

$$a = 2\pi n;$$ $$n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$2\pi n < t_1 < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\pi(2n) < t_1 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n);$$

Вторая дуга:

$$c = \pi + 2\pi n;$$ $$q = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\pi + 2\pi n < t_2 < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\pi(2n + 1) < t_2 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

в) $MN \cup PQ$;

Первая дуга:

$$m = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 \leqslant \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi(2n) < t_1 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n);$$

Вторая дуга:

$$p = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$q = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) < t_2 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ$;

Все дуги имеют одинаковую длину:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4};$$

Расстояние между начальными (конечными) точками всех соседних дуг одинаково и составляет:

$$d = 2l = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2} < t < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Длина каждой наименьшей дуги

Числовая окружность разделена на 8 равных частей, поэтому длина каждой дуги наименьшей дуги составляет:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.$$

Это означает, что угловое расстояние между двумя соседними точками на окружности равно $\frac{\pi}{4}$.

а) $QA \cup NC$

Нам нужно найти все числа $t$, которые принадлежат дугам $QA$ и $NC$.

1) Первая дуга $QA$:

Точка $Q$ расположена на угле $-\frac{\pi}{4}$, а точка $A$ — на угле $0$. Для интервала между точками $Q$ и $A$ мы должны учитывать все углы от $-\frac{\pi}{4}$ до $0$, с учётом периодичности окружности.

• Точка $Q$ соответствует углу $-\frac{\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$q = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

• Точка $A$ соответствует углу $0$, и её можно выразить как:

$$a = 2\pi n.$$

Таким образом, все углы, принадлежащие первой дуге, находятся в интервале от $-\frac{\pi}{4}$ до $0$, и для этого интервала мы получаем:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < 2\pi n,$$

или в другом виде:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi(2n) < t_1 < \pi(2n).$$

2) Вторая дуга $NC$:

Точка $N$ расположена на угле $\frac{3\pi}{4}$, а точка $C$ — на угле $\pi$. Для интервала между точками $N$ и $C$ мы должны учитывать все углы от $\frac{3\pi}{4}$ до $\pi$, с учётом периодичности окружности.

• Точка $N$ соответствует углу $\frac{3\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

• Точка $C$ соответствует углу $\pi$, и её можно выразить как:

$$c = \pi + 2\pi n.$$

Таким образом, все углы, принадлежащие второй дуге, находятся в интервале от $\frac{3\pi}{4}$ до $\pi$, и для этого интервала мы получаем:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \pi + 2\pi n,$$

или в другом виде:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) < t_2 < \pi(2n + 1).$$

Ответ для части (а):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \pi k.$$

б) $AN \cup CQ$

Теперь найдем все числа $t$, которые принадлежат дугам $AN$ и $CQ$.

1) Первая дуга $AN$:

Точка $A$ расположена на угле $0$, а точка $N$ — на угле $\frac{3\pi}{4}$. Для интервала между точками $A$ и $N$ мы должны учитывать все углы от $0$ до $\frac{3\pi}{4}$, с учётом периодичности окружности.

• Точка $A$ соответствует углу $0$, и её можно выразить как:

$$a = 2\pi n.$$

• Точка $N$ соответствует углу $\frac{3\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, все углы, принадлежащие первой дуге, находятся в интервале от $0$ до $\frac{3\pi}{4}$, и для этого интервала мы получаем:

$$2\pi n < t_1 < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,$$

или в другом виде:

$$\pi(2n) < t_1 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n).$$

2) Вторая дуга $CQ$:

Точка $C$ расположена на угле $\pi$, а точка $Q$ — на угле $-\frac{\pi}{4}$. Для интервала между точками $C$ и $Q$ мы должны учитывать все углы от $\pi$ до $-\frac{\pi}{4}$, с учётом периодичности окружности.

• Точка $C$ соответствует углу $\pi$, и её можно выразить как:

$$c = \pi + 2\pi n.$$

• Точка $Q$ соответствует углу $-\frac{\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$q = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, все углы, принадлежащие второй дуге, находятся в интервале от $\pi$ до $-\frac{\pi}{4}$, и для этого интервала мы получаем:

$$\pi + 2\pi n < t_2 < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,$$

или в другом виде:

$$\pi(2n + 1) < t_2 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n + 1).$$

Ответ для части (б):

$$\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k.$$

в) $MN \cup PQ$

Теперь рассмотрим дуги $MN$ и $PQ$.

1) Первая дуга $MN$:

Точка $M$ расположена на угле $\frac{\pi}{4}$, а точка $N$ — на угле $\frac{3\pi}{4}$. Для интервала между точками $M$ и $N$ мы должны учитывать все углы от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, с учётом периодичности окружности.

• Точка $M$ соответствует углу $\frac{\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$m = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

• Точка $N$ соответствует углу $\frac{3\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, все углы, принадлежащие первой дуге, находятся в интервале от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, и для этого интервала мы получаем:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 \leqslant \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,$$

или в другом виде:

$$\frac{\pi}{4} + \pi(2n) < t_1 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n).$$

2) Вторая дуга $PQ$:

Точка $P$ расположена на угле $\frac{5\pi}{4}$, а точка $Q$ — на угле $\frac{7\pi}{4}$. Для интервала между точками $P$ и $Q$ мы должны учитывать все углы от $\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$, с учётом периодичности окружности.

• Точка $P$ соответствует углу $\frac{5\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$p = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

• Точка $Q$ соответствует углу $\frac{7\pi}{4}$, и её можно выразить как:

$$q = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, все углы, принадлежащие второй дуге, находятся в интервале от $\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$, и для этого интервала мы получаем:

$$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,$$

или в другом виде:

$$\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) < t_2 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n + 1).$$

Ответ для части (в):

$$\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k.$$

г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ$

В этой части рассматриваются четыре дуги, все с одинаковой длиной:

Все дуги имеют одинаковую длину:

$$l = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.$$

Расстояние между начальными (конечными) точками всех соседних дуг одинаково и составляет:

$$d = 2l = \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, интервал, соответствующий объединению всех дуг, будет:

$$\frac{\pi n}{2} < t < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ для части (г):

$$\frac{\pi n}{2} < t < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \pi k.$

б) $\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k.$

в) $\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k.$

г) $\frac{\pi n}{2} < t < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$