ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге (рис. 45):

а) $MP$;

б) $AQ$;

в) $BL$;

г) $DF$

Найти все точки $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге;

Длина каждой наименьшей дуги:

$$l = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6};$$

а) $MP$;

$$m = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $AQ$;

$$a = 2\pi n;$$ $$q = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

в) $BL$;

$$b = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$l = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$

г) $DF$;

$$d = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$f = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$

Задача заключается в нахождении всех точек $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге. Для этого необходимо представить все значения углов, принадлежащих дуге, с учётом периодичности окружности, используя формулы для каждой точки дуги.

Длина каждой наименьшей дуги

На числовой окружности длина каждой наименьшей дуги (угловое расстояние между соседними точками) будет равна:

$$l = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.$$

Это означает, что каждое изменение угла между двумя соседними точками на окружности составляет $\frac{\pi}{6}$.

Теперь давайте подробно разберем каждый из случаев, указанных в задаче.

а) $MP$

Дуга $MP$ соединяет точки $M$ и $P$, где точка $M$ расположена на угле $\frac{\pi}{6}$, а точка $P$ — на угле $\frac{2\pi}{3}$. Нам нужно найти все точки, принадлежащие этой дуге.

1) Точка $M$:

Точка $M$ находится на угле $\frac{\pi}{6}$, и её можно записать как:

$$m = \frac{\pi}{6} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число. Это выражение позволяет учесть все углы, соответствующие точке $M$, с учётом периодичности $2\pi$.

2) Точка $P$:

Точка $P$ расположена на угле $\frac{2\pi}{3}$, и её можно записать как:

$$p = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $P$, с учётом периодичности.

3) Интервал между точками $M$ и $P$:

Поскольку точка $M$ находится на угле $\frac{\pi}{6}$, а точка $P$ — на угле $\frac{2\pi}{3}$, все углы, принадлежащие дуге $MP$, будут лежать в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{2\pi}{3}$. Учитывая периодичность $2\pi n$, этот интервал можно выразить как:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ для части (а):

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $AQ$

Дуга $AQ$ соединяет точки $A$ и $Q$, где точка $A$ расположена на угле $0$, а точка $Q$ — на угле $\frac{5\pi}{6}$. Нам нужно найти все точки, принадлежащие этой дуге.

1) Точка $A$:

Точка $A$ находится на угле $0$, и её можно записать как:

$$a = 2\pi n,$$

где $n$ — целое число. Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $A$, с учётом периодичности $2\pi$.

2) Точка $Q$:

Точка $Q$ расположена на угле $\frac{5\pi}{6}$, и её можно записать как:

$$q = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $Q$, с учётом периодичности.

3) Интервал между точками $A$ и $Q$:

Поскольку точка $A$ находится на угле $0$, а точка $Q$ — на угле $\frac{5\pi}{6}$, все углы, принадлежащие дуге $AQ$, будут лежать в интервале от $0$ до $\frac{5\pi}{6}$. Учитывая периодичность $2\pi n$, этот интервал можно выразить как:

$$2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для части (б):

$$2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

в) $BL$

Дуга $BL$ соединяет точки $B$ и $L$, где точка $B$ расположена на угле $\frac{\pi}{2}$, а точка $L$ — на угле $\frac{4\pi}{3}$. Нам нужно найти все точки, принадлежащие этой дуге.

1) Точка $B$:

Точка $B$ находится на угле $\frac{\pi}{2}$, и её можно записать как:

$$b = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число. Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $B$, с учётом периодичности $2\pi$.

2) Точка $L$:

Точка $L$ расположена на угле $\frac{4\pi}{3}$, и её можно записать как:

$$l = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $L$, с учётом периодичности.

3) Интервал между точками $B$ и $L$:

Поскольку точка $B$ находится на угле $\frac{\pi}{2}$, а точка $L$ — на угле $\frac{4\pi}{3}$, все углы, принадлежащие дуге $BL$, будут лежать в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{4\pi}{3}$. Учитывая периодичность $2\pi n$, этот интервал можно выразить как:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ для части (в):

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) $DF$

Дуга $DF$ соединяет точки $D$ и $F$, где точка $D$ расположена на угле $\frac{3\pi}{2}$, а точка $F$ — на угле $-\frac{\pi}{6}$. Нам нужно найти все точки, принадлежащие этой дуге.

1) Точка $D$:

Точка $D$ находится на угле $\frac{3\pi}{2}$, и её можно записать как:

$$d = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число. Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $D$, с учётом периодичности $2\pi$.

2) Точка $F$:

Точка $F$ расположена на угле $-\frac{\pi}{6}$, и её можно записать как:

$$f = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Это выражение даёт все углы, соответствующие точке $F$, с учётом периодичности.

3) Интервал между точками $D$ и $F$:

Поскольку точка $D$ находится на угле $\frac{3\pi}{2}$, а точка $F$ — на угле $-\frac{\pi}{6}$, все углы, принадлежащие дуге $DF$, будут лежать в интервале от $\frac{3\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{6}$. Учитывая периодичность $2\pi n$, этот интервал можно выразить как:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для части (г):

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.