ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки:

а) $t = 2\pi n$, $t = \pi + 2\pi n$;

б) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

в) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

г) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi n}{2}$

а) $t = 2\pi n$, $t = \pi + 2\pi n$;

Все значения чисел:

$$t_1 = 2\pi n = 0 + 2\pi n = 0;$$ $$t_2 = \pi + 2\pi n = \pi;$$

Общая формула чисел:

$$t_1 = 2\pi n = \pi(2n);$$ $$t_2 = \pi + 2\pi n = \pi(2n + 1);$$ $$t = \pi k;$$

Ответ: $M_1(0); M_2(\pi); t = \pi k$.

б) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = \pi(2k) = 2\pi k = 0 + 2\pi k = 0;$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi(2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2};$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = \pi(2k + 1) = \pi + 2\pi k = \pi;$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi(2k + 1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2};$$

Общая формула чисел:

$$t_1 = \pi n = \frac{\pi(2n)}{2};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi(2n + 1)}{2};$$ $$t = \frac{\pi k}{2};$$

Ответ: $M_1(0); M_2\left(\frac{\pi}{2}\right); M_3(\pi); M_4\left(\frac{3\pi}{2}\right); t = \frac{\pi k}{2}$.

в) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

Все значения чисел:

$$t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2};$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2};$$

Общая формула чисел:

$$t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n);$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1);$$ $$t = \frac{\pi}{2} + \pi k;$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{2}\right); M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right); t = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

г) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi n}{2}$;

Если $n = 2k$, тогда:

$$t_2 = \frac{\pi(2k)}{2} = \frac{2\pi k}{2} = \pi k = t_1;$$

Все значения чисел:

• Если $n = 4k$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k)}{2} = 2\pi k = 0 + 2\pi k = 0;$$

• Если $n = 4k + 1$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k + 1)}{2} = 2\pi k + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2};$$

• Если $n = 4k + 2$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k + 2)}{2} = 2\pi k + \pi = \pi;$$

• Если $n = 4k + 3$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k + 3)}{2} = 2\pi k + \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2};$$

Ответ: $M_1(0); M_2\left(\frac{\pi}{2}\right); M_3(\pi); M_4\left(\frac{3\pi}{2}\right); t = \frac{\pi n}{2}$.

Задача заключается в нахождении всех чисел $t$, которые соответствуют точкам, принадлежащим указанным дугам. Мы также должны рассмотреть интервалы для этих значений на отрезке $0 \leq a \leq 2\pi$ и на числовой окружности, учитывая периодичность $2\pi n$.

Общая информация

Каждая точка на числовой окружности имеет угловую координату, которая изменяется от 0 до $2\pi$, повторяясь с периодом $2\pi$. В данной задаче мы используем форму $t = f(n)$, где $n$ — целое число, которое определяет количество оборотов окружности.

Длина каждой наименьшей дуги

Длина каждой наименьшей дуги на числовой окружности, которая равна $\frac{\pi}{6}$, позволяет установить, что каждый угол, соответствующий точке на окружности, будет изменяться на шаг $\frac{\pi}{6}$. Периодичность углов будет заключаться в том, что после каждого полного оборота углы повторяются.

а) $t = 2\pi n$, $t = \pi + 2\pi n$;

Нам нужно найти все значения чисел $t$, которые соответствуют точкам, расположенным на интервале от $2\pi n$ до $\pi + 2\pi n$. Это означает, что $t_1$ и $t_2$ могут принимать значения в этих точках.

1) Все значения чисел:

• $t_1 = 2\pi n = 0 + 2\pi n = 0$ — это значение угла $t_1$, когда $n = 0$.
• $t_2 = \pi + 2\pi n = \pi$ — это значение угла $t_2$, когда $n = 0$.

2) Общая формула чисел:

Для более общего вида, формулы для углов $t_1$ и $t_2$ с учётом периодичности:

$$t_1 = 2\pi n = \pi(2n),$$ $$t_2 = \pi + 2\pi n = \pi(2n + 1).$$

Таким образом, общая формула для всех точек будет выглядеть как:

$$t = \pi k,$$

где $k$ — целое число.

Ответ:

$$M_1(0); M_2(\pi); t = \pi k.$$

б) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Нам нужно найти все значения чисел $t$, которые соответствуют точкам, расположенным на интервале от $\pi n$ до $\frac{\pi}{2} + \pi n$. Это также следует учитывать с учётом периодичности.

1) Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = \pi(2k) = 2\pi k = 0 + 2\pi k = 0.$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi(2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2}.$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = \pi(2k + 1) = \pi + 2\pi k = \pi.$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi(2k + 1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.$$

2) Общая формула чисел:

Общие формулы для чисел:

$$t_1 = \pi n = \frac{\pi(2n)}{2},$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi(2n + 1)}{2}.$$

Таким образом, все значения чисел будут равны:

$$t = \frac{\pi k}{2},$$

где $k$ — целое число.

Ответ:

$$M_1(0); M_2\left(\frac{\pi}{2}\right); M_3(\pi); M_4\left(\frac{3\pi}{2}\right); t = \frac{\pi k}{2}.$$

в) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

Нам нужно найти все значения чисел $t$, которые соответствуют точкам на интервале от $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ до $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

1) Все значения чисел:

• $t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2}$ — это значение угла $t_1$, когда $n = 0$.
• $t_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2}$ — это значение угла $t_2$, когда $n = 0$.

2) Общая формула чисел:

Для более общего вида:

$$t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n),$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1).$$

Таким образом, все значения чисел будут равны:

$$t = \frac{\pi}{2} + \pi k,$$

где $k$ — целое число.

Ответ:

$$M_1\left(\frac{\pi}{2}\right); M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right); t = \frac{\pi}{2} + \pi k.$$

г) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi n}{2}$;

Нам нужно найти все значения чисел $t$, которые соответствуют точкам, принадлежащим интервалу от $\pi n$ до $\frac{\pi n}{2}$.

1) Если $n = 2k$, тогда:

$$t_2 = \frac{\pi(2k)}{2} = \frac{2\pi k}{2} = \pi k = t_1.$$

2) Все значения чисел:

• Если $n = 4k$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k)}{2} = 2\pi k = 0 + 2\pi k = 0.$$

• Если $n = 4k + 1$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k + 1)}{2} = 2\pi k + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$

• Если $n = 4k + 2$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k + 2)}{2} = 2\pi k + \pi = \pi.$$

• Если $n = 4k + 3$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi(4k + 3)}{2} = 2\pi k + \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.$$

Ответ:

$$M_1(0); M_2\left(\frac{\pi}{2}\right); M_3(\pi); M_4\left(\frac{3\pi}{2}\right); t = \frac{\pi n}{2}.$$