ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = \frac{\pi n}{3}$;

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$

в) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad t = 2\pi n;$

г) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

а) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = \frac{\pi n}{3}$;

Если $n = 3k \pm 1$, тогда:

$$t_2 = \frac{\pi (3k \pm 1)}{3} = \frac{3\pi k}{3} \pm \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k = t_1;$$

Все значения чисел:

• Если $n = 6k$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi (6k)}{3} = 2\pi k = 0 + 2\pi k = 0;$$

• Если $n = 6k + 1$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi (6k + 1)}{3} = 2\pi k + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$$

• Если $n = 6k + 2$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi (6k + 2)}{3} = 2\pi k + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$

• Если $n = 6k + 3$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi (6k + 3)}{3} = 2\pi k + \frac{3\pi}{3} = \pi;$$

• Если $n = 6k + 4$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi (6k + 4)}{3} = 2\pi k + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$

• Если $n = 6k + 5$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi (6k + 5)}{3} = 2\pi k + \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3};$$

Ответ: $M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_4(\pi); \, M_5\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, M_6\left(\frac{5\pi}{3}\right); \, t = \frac{\pi n}{3}.$

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4};$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k + 1) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k + 1) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4};$$

Общая формула чисел:

$$t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} + \frac{\pi (2n)}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n-1)}{2};$$ $$t_2 = +\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n)}{2};$$ $$t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2};$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{4}\right); \, M_2\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_3\left(\frac{5\pi}{4}\right); \, t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

в) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad t = 2\pi n;$

Все значения чисел:

$$t_{11} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{3} = 2\pi — \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$ $$t_{12} = +\frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3};$$ $$t_2 = 2\pi n = 0 + 2\pi n = 0;$$

Общая формула чисел:

$$t_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi (3n)}{3} = \frac{2\pi (3n \pm 1)}{3};$$ $$t_2 = 2\pi n = \frac{2\pi (3n)}{3};$$ $$t = \frac{2\pi k}{3};$$

Ответ: $M_1(0); \, M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, t = \frac{2\pi k}{3}.$

г) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} = 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6};$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6};$$

Общая формула чисел:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{6}\right); \, M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right); \, M_3\left(\frac{7\pi}{6}\right); \, M_4\left(\frac{11\pi}{6}\right); \, t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$

В этом упражнении мы должны найти все точки $t$, которые принадлежат заданным дугам на числовой окружности. Для каждой из дуг мы будем:

1. Рассматривать возможные значения углов $t$.
2. Определять общие формулы для чисел, соответствующих этим углам.
3. Предоставлять полный список точек на числовой окружности с учётом их периодичности.

а) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = \frac{\pi n}{3}$;

1) Если $n = 3k \pm 1$:

Мы начинаем с того, что $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n$ — целое число.

• Для значений $n = 3k + 1$, получаем:

  $$t = \frac{\pi (3k + 1)}{3} = \frac{3\pi k}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi k + \frac{\pi}{3}.$$

• Для значений $n = 3k — 1$, получаем:

  $$t = \frac{\pi (3k — 1)}{3} = \frac{3\pi k}{3} — \frac{\pi}{3} = \pi k — \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом, для $n = 3k \pm 1$, $t$ принимает значения в виде $\pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ — целое число.

2) Все значения чисел:

• Если $n = 6k$, тогда:

  $$t = \frac{\pi (6k)}{3} = 2\pi k = 0 + 2\pi k = 0.$$

• Если $n = 6k + 1$, тогда:

  $$t = \frac{\pi (6k + 1)}{3} = 2\pi k + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

• Если $n = 6k + 2$, тогда:

  $$t = \frac{\pi (6k + 2)}{3} = 2\pi k + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

• Если $n = 6k + 3$, тогда:

  $$t = \frac{\pi (6k + 3)}{3} = 2\pi k + \frac{3\pi}{3} = \pi.$$

• Если $n = 6k + 4$, тогда:

  $$t = \frac{\pi (6k + 4)}{3} = 2\pi k + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$$

• Если $n = 6k + 5$, тогда:

  $$t = \frac{\pi (6k + 5)}{3} = 2\pi k + \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.$$

Таким образом, все точки $t$, которые могут быть получены, это:

$$M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_4(\pi); \, M_5\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, M_6\left(\frac{5\pi}{3}\right); \quad t = \frac{\pi n}{3}.$$

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$

1) Все значения чисел:

Рассмотрим выражения для чисел $t$:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4}.$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k + 1) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi = \frac{3\pi}{4};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k + 1) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi = \frac{5\pi}{4}.$$

2) Общая формула чисел:

Общая формула для чисел:

$$t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} + \frac{\pi (2n)}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n-1)}{2};$$ $$t_2 = +\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n)}{2};$$ $$t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{4}\right); \, M_2\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_3\left(\frac{5\pi}{4}\right); \, t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

в) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad t = 2\pi n;$

1) Все значения чисел:

• Для $t_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, получаем:

  $$t_1 = -\frac{2\pi}{3} = 2\pi — \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$$

• Для $t_2 = +\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, получаем:

  $$t_2 = \frac{2\pi}{3}.$$

• Для $t_3 = 2\pi n$, получаем:

  $$t_3 = 0.$$

2) Общая формула чисел:

Общая формула для чисел:

$$t_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi (3n)}{3} = \frac{2\pi (3n \pm 1)}{3};$$ $$t_2 = 2\pi n = \frac{2\pi (3n)}{3};$$ $$t = \frac{2\pi k}{3}.$$

Ответ: $M_1(0); \, M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, t = \frac{2\pi k}{3}.$

г) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

1) Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} = 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.$$

2) Общая формула чисел:

Общая формула для чисел:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{6}\right); \, M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right); \, M_3\left(\frac{7\pi}{6}\right); \, M_4\left(\frac{11\pi}{6}\right); \, t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$

Итоговые ответы:

а) $M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_4(\pi); \, M_5\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, M_6\left(\frac{5\pi}{3}\right); \, t = \frac{\pi n}{3}.$

б) $M_1\left(\frac{\pi}{4}\right); \, M_2\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_3\left(\frac{5\pi}{4}\right); \, t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

в) $M_1(0); \, M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, t = \frac{2\pi k}{3}.$

г) $M_1\left(\frac{\pi}{6}\right); \, M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right); \, M_3\left(\frac{7\pi}{6}\right); \, M_4\left(\frac{11\pi}{6}\right); \, t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$