ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $t=-\frac{\pi }{6}+\pi (2n+1),t=\frac{\pi }{30}+\frac{2\pi n}{5};$

б) $t=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{3}+\pi n,t=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{3}+\pi n,t=\pi n;$

в) $t=-\frac{\pi }{4}+\pi n,t=\frac{\pi }{4}\pm \frac{\pi }{6}+\pi n;$

г) $t=\pm \frac{\pi }{4}+\pi n,t=\frac{\pi }{2}+\pi n,t=\pi n$

а) $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n+1), \quad t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5};$

Если $n = 5k + 2$, тогда:

$$t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n + \pi = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+2)}{5} = \frac{\pi}{30} + 2\pi k + \frac{4\pi}{5} = \frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6} = t_1;$$

Все значения чисел:

• Если $n = 5k$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k)}{5} = \frac{\pi}{30} + 2\pi k = \frac{\pi}{30};$$

• Если $n = 5k + 1$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+1)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} + 2\pi k = \frac{13\pi}{30};$$

• Если $n = 5k + 2$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+2)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} + 2\pi k = \frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6};$$

• Если $n = 5k + 3$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+3)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{6\pi}{5} + 2\pi k = \frac{37\pi}{30};$$

• Если $n = 5k + 4$, тогда:

  $$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+4)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{8\pi}{5} + 2\pi k = \frac{49\pi}{30};$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{30}\right); \, M_2\left(\frac{13\pi}{30}\right); \, M_3\left(\frac{5\pi}{6}\right); \, M_4\left(\frac{37\pi}{30}\right); \, M_5\left(\frac{49\pi}{30}\right); \, t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}.$

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = \pi n;$

Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} = 2\pi — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3};$$ $$t_3 = \pi(2k) = 2\pi k = 0;$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$ $$t_2 = (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$ $$t_3 = \pi(2k+1) = 2\pi k + \pi = \pi;$$

Общая формула чисел:

$$t_{12} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$t_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi(3n)}{3} = \frac{\pi(3n-1)}{3};$$ $$t_2 = +\frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi(3n)}{3} = \frac{\pi(3n+1)}{3};$$ $$t_3 = \pi n = \frac{\pi(3n)}{3};$$ $$t = \frac{\pi k}{3};$$

Ответ: $M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_4(\pi); \, M_5\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, M_6\left(\frac{5\pi}{3}\right); \, t = \frac{\pi k}{3}.$

в) $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4};$$ $$t_{21} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi(2k) = \frac{\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12};$$ $$t_{22} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi(2k) = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12};$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4};$$ $$t_{12} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{12} + 2\pi k + \pi = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12};$$ $$t_{22} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k + \pi = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12};$$

Общая формула чисел:

$$t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{3} + \frac{\pi(3n)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3n-1)}{3};$$ $$t_{21} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3n)}{3};$$ $$t_{22} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(3n)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3n+1)}{3};$$ $$t = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3};$$

Ответ: $M_1\left(\frac{\pi}{12}\right); \, M_2\left(\frac{5\pi}{12}\right); \, M_3\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_4\left(\frac{7\pi}{12}\right); \, M_5\left(\frac{13\pi}{12}\right); \, M_6\left(\frac{17\pi}{12}\right); \, t = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}.$

г) $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad t = \pi n;$

Все значения чисел:

• Если $n = 2k$, тогда:

  $$t_{11} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} = 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4};$$ $$t_{12} = +\frac{\pi}{4} + \pi(2k) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi(2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2};$$ $$t_3 = \pi(2k) = 2\pi k = 0;$$

• Если $n = 2k + 1$, тогда:

  $$t_{11} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4};$$ $$t_{12} = +\frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2};$$ $$t_3 = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k = \pi;$$

Общая формула чисел:

$$t_1 = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi(4n)}{4} \pm \frac{\pi}{4} = \frac{\pi(4n \pm 1)}{4};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi(4n)}{4} = \frac{\pi(4n+2)}{4};$$ $$t_3 = \pi n = \frac{\pi(4n)}{4};$$ $$t = \frac{\pi k}{4};$$

Ответ: $M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{4}\right); \, M_3\left(\frac{\pi}{2}\right); \, M_4\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_5(\pi); \, M_6\left(\frac{5\pi}{4}\right); \, M_7\left(\frac{3\pi}{2}\right); \, M_8\left(\frac{7\pi}{4}\right); \, t = \frac{\pi k}{4}.$

а) $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n+1), \quad t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5};$

Шаг 1: Разберем выражения для $t_1$ и $t_2$.

• $t_1 = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n+1)$. Это выражение представляет собой серию точек на окружности с шагом $\pi$, начиная с точки $-\frac{\pi}{6}$.
• $t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$. Это выражение также представляет собой серию точек, но с шагом $\frac{2\pi}{5}$, начиная с точки $\frac{\pi}{30}$.

Шаг 2: Подставим различные значения для $n$, чтобы найти конкретные точки на окружности.

Если $n = 5k + 2$:

Для $t_1$:

$$t_1 = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n+1) = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

Для $t_2$:

$$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+2)}{5} = \frac{\pi}{30} + 2\pi k + \frac{4\pi}{5} = \frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6}.$$

Таким образом, для $n = 5k + 2$ точки $t_1$ и $t_2$ совпадают.

Все возможные значения чисел:

Для разных значений $n$ получаем:

• Если $n = 5k$:

$$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k)}{5} = \frac{\pi}{30} + 2\pi k = \frac{\pi}{30}.$$

• Если $n = 5k + 1$:

$$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+1)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} + 2\pi k = \frac{13\pi}{30}.$$

• Если $n = 5k + 2$:

$$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+2)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} + 2\pi k = \frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6}.$$

• Если $n = 5k + 3$:

$$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+3)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{6\pi}{5} + 2\pi k = \frac{37\pi}{30}.$$

• Если $n = 5k + 4$:

$$t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi(5k+4)}{5} = \frac{\pi}{30} + \frac{8\pi}{5} + 2\pi k = \frac{49\pi}{30}.$$

Ответ:

$$M_1\left(\frac{\pi}{30}\right); \, M_2\left(\frac{13\pi}{30}\right); \, M_3\left(\frac{5\pi}{6}\right); \, M_4\left(\frac{37\pi}{30}\right); \, M_5\left(\frac{49\pi}{30}\right); \, t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}.$$

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad t = \pi n;$

Шаг 1: Рассмотрим выражения для каждого значения $t$.

• $t_1 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$ — для каждого $n$ эта формула дает точку, где значение $t$ меняется в зависимости от четности $n$.
• $t_2 = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$ — аналогична предыдущей, но со сдвигом знака.
• $t_3 = \pi n$ — эта формула дает все кратные $\pi$, то есть углы, кратные $\pi$.

Шаг 2: Подставим различные значения для $n$.

Если $n = 2k$:

• $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{3}$.
• $t_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi}{3}$.
• $t_3 = 2\pi k = 0$.

Если $n = 2k + 1$:

• $t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
• $t_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.
• $t_3 = \pi + 2\pi k = \pi$.

Шаг 3: Общая формула для чисел.

$$t_{12} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$t_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi(3n-1)}{3};$$ $$t_2 = +\frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi(3n+1)}{3};$$ $$t_3 = \pi n = \frac{\pi(3n)}{3};$$ $$t = \frac{\pi k}{3}.$$

Ответ:

$$M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{3}\right); \, M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right); \, M_4(\pi); \, M_5\left(\frac{4\pi}{3}\right); \, M_6\left(\frac{5\pi}{3}\right); \, t = \frac{\pi k}{3}.$$

в) $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Шаг 1: Рассмотрим выражения для $t_1$, $t_{21}$, и $t_{22}$.

• $t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ — точки с шагом $\pi$, начиная с $-\frac{\pi}{4}$.
• $t_{21} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n$ и $t_{22} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n$ — выражения для точек с разницей в $\frac{\pi}{6}$ относительно $\frac{\pi}{4}$.

Шаг 2: Подставим разные значения для $n$.

Если $n = 2k$:

• $t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k) = \frac{7\pi}{4}$.
• $t_{21} = \frac{\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12}$.
• $t_{22} = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12}$.

Если $n = 2k + 1$:

• $t_1 = \frac{3\pi}{4}$.
• $t_{12} = \frac{13\pi}{12}$.
• $t_{22} = \frac{17\pi}{12}$.

Шаг 3: Общая формула для чисел.

$$t_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{3} + \frac{\pi(3n)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3n-1)}{3};$$ $$t_{21} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3n)}{3};$$ $$t_{22} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3n+1)}{3};$$ $$t = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}.$$

Ответ:

$$M_1\left(\frac{\pi}{12}\right); \, M_2\left(\frac{5\pi}{12}\right); \, M_3\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_4\left(\frac{7\pi}{12}\right); \, M_5\left(\frac{13\pi}{12}\right); \, M_6\left(\frac{17\pi}{12}\right); \, t = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}.$$

г) $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad t = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad t = \pi n;$

Шаг 1: Рассмотрим выражения для $t_{11}$, $t_{12}$, $t_2$, и $t_3$.

• $t_{11} = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$ — точки, с шагом $\pi$, начиная с $\pm \frac{\pi}{4}$.
• $t_{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — точка с шагом $\pi$, начиная с $\frac{\pi}{2}$.
• $t_3 = \pi n$ — точка, которая является кратным $\pi$.

Шаг 2: Подставим разные значения для $n$.

Если $n = 2k$:

• $t_{11} = \frac{7\pi}{4}$.
• $t_{12} = \frac{\pi}{4}$.
• $t_2 = \frac{\pi}{2}$.
• $t_3 = 0$.

Если $n = 2k + 1$:

• $t_{11} = \frac{3\pi}{4}$.
• $t_{12} = \frac{5\pi}{4}$.
• $t_2 = \frac{3\pi}{2}$.
• $t_3 = \pi$.

Шаг 3: Общая формула для чисел.

$$t_1 = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi(4n)}{4} \pm \frac{\pi}{4} = \frac{\pi(4n \pm 1)}{4};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi(4n)}{4} = \frac{\pi(4n+2)}{4};$$ $$t_3 = \pi n = \frac{\pi(4n)}{4};$$ $$t = \frac{\pi k}{4}.$$

Ответ:

$$M_1(0); \, M_2\left(\frac{\pi}{4}\right); \, M_3\left(\frac{\pi}{2}\right); \, M_4\left(\frac{3\pi}{4}\right); \, M_5(\pi); \, M_6\left(\frac{5\pi}{4}\right); \, M_7\left(\frac{3\pi}{2}\right); \, M_8\left(\frac{7\pi}{4}\right); \, t = \frac{\pi k}{4}.$$