ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Можно ли найти на единичной окружности точку E с указанной ниже длиной дуги AE? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка E:

а) $AE = 2$

б) $AE = \sqrt{8\pi}$

в) $AE = 6,3$

г) $AE = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$

Можно ли найти на единичной окружности точку $E$ с указанной длиной дуги $AE$, в какой четверти она находится;

а) $AE = 2$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1,57;$$ $$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

Ответ: во II четверти.

б) $AE = \sqrt{8\pi}$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$\sqrt{8\pi} \approx \sqrt{25,12} \approx 5;$$ $$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$\frac{3\pi}{2} < \sqrt{8\pi} < 2\pi;$$

Ответ: в IV четверти.

в) $AE = 6,3$;

$$\pi = 3,14 \ldots;$$ $$2\pi = 6,28 \ldots;$$ $$6,3 > 2\pi;$$

Ответ: нет.

г) $AE = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$;

$$\sqrt{300} = \sqrt{289 + 11} \approx 17;$$ $$\sqrt{3} \approx 1,7;$$ $$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \approx \frac{2,7}{0,7} \approx 3,85;$$ $$\pi \approx 3,14;$$ $$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71;$$ $$\pi < \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} < \frac{3\pi}{2};$$

Ответ: в III четверти.

Для вычисления длины дуги $AE$ на единичной окружности можно воспользоваться следующим фактом: длина дуги $AE$ соответствует углу $\alpha$ (в радианах) между точкой $A$ и точкой $E$ на окружности. Длина дуги на единичной окружности равна углу, измеренному в радианах. Таким образом, если дана длина дуги, то мы можем найти угол $\alpha$, который и будет соответствовать положению точки $E$ на окружности.

Угол $\alpha$ делит окружность на четыре четверти:

1. Первая четверть: угол от 0 до $\frac{\pi}{2}$ (от 0 до 90°).
2. Вторая четверть: угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (от 90° до 180°).
3. Третья четверть: угол от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ (от 180° до 270°).
4. Четвертая четверть: угол от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ (от 270° до 360°).

Мы будем использовать приближенные значения числа $\pi$, чтобы определить, в какой четверти находится точка.

а) $AE = 2$

Шаг 1: Рассчитаем угол $\alpha$, соответствующий дуге длины 2.

Для этого используем приближенное значение числа $\pi$:

$$\pi \approx 3,14$$

Длина дуги на единичной окружности равна углу в радианах. Таким образом, длина дуги $AE$ равна углу $\alpha = 2$ радиан.

Шаг 2: Определим, в какой четверти находится точка $E$.

Чтобы понять, в какой четверти находится точка $E$, нужно сравнить угол $2$ с границами каждой четверти:

• Первая четверть: угол от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
• Вторая четверть: угол от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$.

Поскольку $2$ находится между $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, то точка $E$ находится во второй четверти.

Ответ: во II четверти.

б) $AE = \sqrt{8\pi}$

Шаг 1: Рассчитаем значение $\sqrt{8\pi}$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$$8\pi \approx 8 \times 3,14 = 25,12$$

Теперь находим корень из этого числа:

$$\sqrt{8\pi} \approx \sqrt{25,12} \approx 5$$

Шаг 2: Определим, в какой четверти находится точка $E$.

Преобразуем $\sqrt{8\pi} \approx 5$ в радианы и сравним с границами четвертей:

• Первая четверть: угол от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
• Вторая четверть: угол от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$.
• Третья четверть: угол от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.
• Четвертая четверть: угол от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$.

Поскольку $\sqrt{8\pi} \approx 5$ находится между $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$, то точка $E$ находится в четвертой четверти.

Ответ: в IV четверти.

в) $AE = 6,3$

Шаг 1: Рассчитаем, сравним ли $6,3$ с длиной окружности.

Для этого сначала найдем полный круг на единичной окружности:

$$2\pi \approx 6,28$$

Поскольку $6,3 > 6,28$, длина дуги $AE = 6,3$ больше, чем длина всего круга. Это означает, что такой дуги на единичной окружности не существует.

Ответ: нет.

г) $AE = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$

Шаг 1: Рассчитаем значение $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$.

Для начала приближенно вычислим $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} \approx 1,7$$

Теперь вычислим выражение:

$$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \approx \frac{1,7 + 1}{1,7 — 1} = \frac{2,7}{0,7} \approx 3,85$$

Шаг 2: Определим, в какой четверти находится точка $E$.

Преобразуем полученное значение $3,85$ в радианы и сравним с границами четвертей:

• Первая четверть: угол от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
• Вторая четверть: угол от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$.
• Третья четверть: угол от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Поскольку $3,85$ находится между $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, то точка $E$ находится в третьей четверти.

Ответ: в III четверти.

Итоговые ответы:

а) во II четверти.

б) в IV четверти.

в) нет.

г) в III четверти.