ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) K радиусам OA и OC проведены серединные перпендикуляры, соответственно, MN и PQ (рис. 42). Чему равен центральный угол AOMl Найдите длину хорды MN. Найдите длину дуги QN. Докажите, что точки А, M, P, C, Q, N делят окружность на шесть равных частей,

б) K радиусам OB и OD проведены серединные перпендикуляры LK и TS, соответственно (рис. 43). Чему равен центральный угол KOB? Найдите длину хорды KL. Найдите длину дуги TL. Докажите, что точки K, B, L, T, D, S делят окружность на шесть равных частей.

а) К радиусам $OA$ и $OC$ проведены серединные перпендикуляры, соответственно $MN$ и $PQ$;

Рассмотрим треугольник $AOM$:

$$MN \perp OA \text{ и } OM_1 = M_1A \quad \Rightarrow \quad AM = MO = R = 1;$$ $$OA = R = 1 \quad \Rightarrow \quad OA = AM = MO \quad \Rightarrow \quad \angle AOM = 60^\circ;$$ $$MM_1 = \sqrt{(OM)^2 — (OM_1)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Аналогично рассуждаем для $\Delta COP, \Delta COQ, \Delta AON$:

$$\angle COP = \angle COQ = \angle AON = 60^\circ;$$ $$PP_1 = P_1Q = M_1N = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Длина хорды $MN$:

$$MN = MM_1 + M_1N = 2MM_1 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3};$$

Длины всех дуг:

$$AM = PC = CQ = NA = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3};$$ $$MP = AC — AM — PC = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$$ $$QN = CA — CQ — NA = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$$

Таким образом, точки $A, M, P, C, Q, N$ делят окружность на 6 равных дуг (длиной $\frac{\pi}{3}$), что и требовалось доказать.

Ответ: $\angle AOM = 60^\circ; \, MN = \sqrt{3}; \, QN = \frac{\pi}{3}.$

б) К радиусам $OB$ и $OD$ проведены серединные перпендикуляры, соответственно $LK$ и $TS$;

Рассмотрим треугольник $BOK$:

$$ML \perp OB \text{ и } OK_1 = K_1B \quad \Rightarrow \quad KB = OK = R = 1;$$ $$OB = R = 1 \quad \Rightarrow \quad OB = KB = OK \quad \Rightarrow \quad \angle KOB = 60^\circ;$$ $$KK_1 = \sqrt{(OK)^2 — (OK_1)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Аналогично рассуждаем для $\Delta DOS, \Delta DOT, \Delta BOL$:

$$\angle DOS = \angle DOT = \angle BOL = 60^\circ;$$ $$SS_1 = S_1T = K_1L = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Длина хорды $KL$:

$$KL = KK_1 + K_1L = 2KK_1 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3};$$

Длины всех дуг:

$$BK = SD = DT = LB = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3};$$ $$KS = BD — BK — SD = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$$ $$TL = DB — DT — LB = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$$

Таким образом, точки $K, B, L, T, D, S$ делят окружность на 6 равных дуг (длиной $\frac{\pi}{3}$), что и требовалось доказать.

Ответ: $\angle KOB = 60^\circ; \, KL = \sqrt{3}; \, TL = \frac{\pi}{3}.$

а) К радиусам $OA$ и $OC$ проведены серединные перпендикуляры, соответственно $MN$ и $PQ$;

Шаг 1: Рассмотрим треугольник $AOM$

Вершины $O$ и $A$ — это центр и точка на окружности, соответственно. $MN$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $M$, которая является серединой отрезка $OA$. Из условий задачи известно, что:

$$MN \perp OA \text{ и } OM_1 = M_1A.$$

Это означает, что $M_1$ — это середина отрезка $OM$, и $M_1A$ = $OM_1$, что является важным для последующих вычислений.

По определению, радиус окружности $OA = 1$. Так как $M_1$ — это середина отрезка $OM$, то:

$$OM = M_1A = R = 1.$$

Следовательно, вся длина $OA$ будет равна радиусу окружности $R = 1$.

Поскольку $OA = AM = MO$, то треугольник $AOM$ является равносторонним. Поскольку все углы в равностороннем треугольнике равны, то:

$$\angle AOM = 60^\circ.$$

Далее вычислим длину отрезка $MM_1$. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $OMM_1$, где $OM = 1$, а $OM_1 = \frac{1}{2}$ (так как $M_1$ — это середина отрезка $OM$):

$$MM_1 = \sqrt{(OM)^2 — (OM_1)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Рассмотрим аналогичные треугольники $\Delta COP, \Delta COQ, \Delta AON$

Для этих треугольников мы можем сделать аналогичные выводы, так как они по своей структуре идентичны тому, что мы уже рассмотрели для треугольника $AOM$. Таким образом, для треугольников $COP$, $COQ$, и $AON$ выполняются следующие углы:

$$\angle COP = \angle COQ = \angle AON = 60^\circ.$$

Длины отрезков $PP_1$, $P_1Q$, и $M_1N$ также равны, и составляют:

$$PP_1 = P_1Q = M_1N = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Длина хорды $MN$

Длина хорды $MN$ равна сумме длин отрезков $MM_1$ и $M_1N$, то есть:

$$MN = MM_1 + M_1N = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.$$

Шаг 4: Длины дуг

Рассмотрим дуги, образованные точками на окружности. Дуга $AM$ — это часть окружности, соответствующая углу $\angle AOM$, равному $60^\circ$. Длина дуги $AM$ определяется как:

$$AM = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}.$$

Аналогично, для дуг $PC$, $CQ$ и $NA$, так как все углы между радиусами равны, имеем:

$$PC = CQ = NA = \frac{\pi}{3}.$$

Длина дуги $MP$ равна разности между длиной всей окружности $AC$ и длинами дуг $AM$ и $PC$. Длина окружности $AC$ составляет $\pi$, так что:

$$MP = AC — AM — PC = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Аналогично, длина дуги $QN$ вычисляется как:

$$QN = CA — CQ — NA = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 5: Разбиение окружности на равные дуги

Мы видим, что точки $A, M, P, C, Q, N$ делят окружность на 6 равных частей, каждая из которых имеет длину $\frac{\pi}{3}$. Это и требовалось доказать.

Ответ:

$$\angle AOM = 60^\circ; \, MN = \sqrt{3}; \, QN = \frac{\pi}{3}.$$

б) К радиусам $OB$ и $OD$ проведены серединные перпендикуляры, соответственно $LK$ и $TS$;

Шаг 1: Рассмотрим треугольник $BOK$

По аналогии с первым случаем, рассмотрим треугольник $BOK$, где $LK$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $K$, которая является серединой отрезка $OB$. Состояние:

$$LK \perp OB \text{ и } OK_1 = K_1B.$$

Таким образом, $K_1$ является серединой отрезка $OK$, и $OK = K_1B = R = 1$.

Поскольку $OB = R = 1$, то треугольник $BOK$ также равносторонний, и углы:

$$\angle KOB = 60^\circ.$$

Теперь вычислим длину отрезка $KK_1$. Для этого снова применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $OKK_1$, где $OK = 1$, а $OK_1 = \frac{1}{2}$:

$$KK_1 = \sqrt{(OK)^2 — (OK_1)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Рассмотрим аналогичные треугольники $\Delta DOS, \Delta DOT, \Delta BOL$

По аналогии с предыдущим случаем, для треугольников $DOS$, $DOT$, и $BOL$ все углы равны:

$$\angle DOS = \angle DOT = \angle BOL = 60^\circ.$$

Длины отрезков $SS_1$, $S_1T$, и $K_1L$ также равны:

$$SS_1 = S_1T = K_1L = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Длина хорды $KL$

Длина хорды $KL$ равна сумме длин отрезков $KK_1$ и $K_1L$:

$$KL = KK_1 + K_1L = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.$$

Шаг 4: Длины дуг

Для дуг $BK$, $SD$, $DT$, и $LB$, поскольку угол между радиусами равен $60^\circ$, длина каждой дуги составляет:

$$BK = SD = DT = LB = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}.$$

Длина дуги $KS$ вычисляется как:

$$KS = BD — BK — SD = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Аналогично, длина дуги $TL$:

$$TL = DB — DT — LB = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 5: Разбиение окружности на равные дуги

Мы видим, что точки $K, B, L, T, D, S$ делят окружность на 6 равных частей, каждая из которых имеет длину $\frac{\pi}{3}$. Это и требовалось доказать.

Ответ:

$$\angle KOB = 60^\circ; \, KL = \sqrt{3}; \, TL = \frac{\pi}{3}.$$