ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

а) $\frac{\pi}{2}$

б) $-\pi$

в) $4\pi$

г) $-\frac{3\pi }{2}$$$$$

а) Точка $\frac{\pi}{2}$;

Соответствует повороту точки $A$ на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;

То есть искомой точкой является точка $B$:

б) Точка $(-\pi)$;

$a = 2\pi — \pi = \pi$;

Соответствует повороту точки $A$ на угол $\pi$ против часовой стрелки;

То есть искомой точкой является точка $C$:

в) Точка $4\pi$;

$a = 4\pi = 0 + 2 \cdot 2\pi = 0$;

Соответствует повороту точки $A$ на угол $0$ против часовой стрелки;

То есть искомой точкой является точка $A$:

г) Точка $\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$;

$a = 2\pi — \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} — \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$;

Соответствует повороту точки $A$ на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;

То есть искомой точкой является точка $B$:

а) Точка $\frac{\pi}{2}$;

1. Для точки $\frac{\pi}{2}$ мы имеем угол поворота, равный $\frac{\pi}{2}$, то есть $90^\circ$. Это означает, что точка $A$ поворачивается на угол $90^\circ$ против часовой стрелки от своей начальной позиции.
2. Чтобы понять, где окажется точка $A$ после этого поворота, мы можем представить себе, что точка $A$ находится на окружности радиусом $1$. После поворота на угол $90^\circ$ против часовой стрелки точка $A$ переместится в новое положение, которое будет на $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан) от начальной точки.
3. Соответственно, искомой точкой будет точка $B$, которая расположена на окружности на расстоянии $\frac{\pi}{2}$ радиан от точки $A$. Это означает, что точка $B$ лежит в четверти окружности, которая начинается с точки $A$ и продолжается против часовой стрелки.

б) Точка $(-\pi)$;

1. Для точки $-\pi$ мы сначала представляем, что угол поворота равен $-\pi$ радиан. Это означает, что точка $A$ будет поворачиваться на угол $\pi$ против часовой стрелки. При этом знак минус указывает, что мы поворачиваемся по часовой стрелке на $\pi$ радиан, то есть на половину окружности.
2. Сначала вычислим эквивалентный угол для положительного значения. Мы знаем, что полный угол окружности равен $2\pi$, и, если мы поворачиваемся на $-\pi$, то это эквивалентно повороту на угол:

   $$a = 2\pi — \pi = \pi.$$

   Это подтверждает, что мы сделали поворот на угол $\pi$ радиан (или 180°) против часовой стрелки.

3. В результате поворота на угол $\pi$ против часовой стрелки точка $A$ перемещается на противоположную сторону окружности и достигает точки $C$.

в) Точка $4\pi$;

1. В данном случае точка перемещается на угол $4\pi$ радиан. Чтобы понять, как это выглядит, нужно рассмотреть, что такое угол $4\pi$. Поворот на $2\pi$ радиан (или 360°) возвращает нас в исходное положение. Следовательно, поворот на угол $4\pi$ эквивалентен повороту на угол:

   $$a = 4\pi = 0 + 2 \cdot 2\pi = 0.$$

   Это означает, что точка $A$ возвращается в свое начальное положение после двух полных оборотов вокруг окружности.

2. Поворот на угол $4\pi$ радиан (или два полных оборота) не изменяет положение точки $A$, так как точка возвращается в исходную точку.
3. Следовательно, после поворота на $4\pi$ радиан искомой точкой будет снова точка $A$.

г) Точка $\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$;

1. Теперь рассмотрим точку $-\frac{3\pi}{2}$. Это означает, что мы поворачиваем точку $A$ по часовой стрелке на угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан, что эквивалентно повороту на угол $270^\circ$.
2. Чтобы привести угол в эквивалентную положительную форму, нам нужно прибавить $2\pi$ (полный оборот), так как поворот по часовой стрелке на $-\frac{3\pi}{2}$ — это эквивалентный поворот против часовой стрелки на угол $\frac{\pi}{2}$:

   $$a = 2\pi — \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} — \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$

   Таким образом, мы можем рассматривать этот поворот как поворот на $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки.

3. Поворот на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки возвращает точку $A$ в положение, которое мы уже рассматривали в пункте (а). Таким образом, искомой точкой снова будет точка $B$.