ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{10\pi}{3}$

б) $-\frac{17\pi }{4}$

в) $\frac{31\pi}{6}$

г) $-\frac{19\pi }{3}$

а) Число $\frac{10\pi}{3}$;

$a = 2\pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3};$

Соответствует повороту точки $C$ на угол $\frac{\pi}{3}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $CD$ в отношении:

$$\frac{CM}{CD} = \frac{\pi}{3} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{3};$$

На числовой окружности:

б) Число $\left(-\frac{17\pi}{4}\right)$;

$a = 6\pi — \frac{17\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4};$

Соответствует повороту точки $D$ на угол $\frac{\pi}{4}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $DA$ в отношении:

$$\frac{DM}{DA} = \frac{\pi}{4} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

На числовой окружности:

в) Число $\frac{31\pi}{6}$;

$a = 4\pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6};$

Соответствует повороту точки на угол $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $CD$ в отношении:

$$\frac{CM}{CD} = \frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$

На числовой окружности:

г) Число $\left(-\frac{19\pi}{3}\right)$;

$a = 8\pi — \frac{19\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6};$

Соответствует повороту точки $D$ на угол $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $DA$ в отношении:

$$\frac{DM}{DA} = \frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$

На числовой окружности:

а) Число $\frac{10\pi}{3}$;

1. Приведение числа $\frac{10\pi}{3}$ к эквивалентному углу:

   Число $\frac{10\pi}{3}$ представляет собой угол, превышающий один полный оборот окружности. Поскольку один полный оборот окружности равен $2\pi$, давайте приведем этот угол к эквивалентному в пределах от $0$ до $2\pi$:

   $$a = \frac{10\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3}.$$

   Это означает, что поворот на угол $\frac{10\pi}{3}$ эквивалентен повороту на угол $\frac{4\pi}{3}$ (поскольку $2\pi$ — это полный оборот). Теперь мы можем работать с углом $\frac{4\pi}{3}$.

2. Поворот точки $C$ на угол $\frac{\pi}{3}$:

   Поворот на угол $\frac{4\pi}{3}$ можно разделить на два этапа:

   Таким образом, этот угол соответствует повороту на угол $\frac{\pi}{3}$ против часовой стрелки, что означает, что точка $C$ будет двигаться по окружности на угол $\frac{\pi}{3}$ от своей исходной позиции.

   $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$, то есть на первый полный оборот (угол $\pi$, или 180 градусов) и на дополнительный угол $\frac{\pi}{3}$ (или 60 градусов).

3. Деление дуги $CD$:

   Дуга $CD$ соответствует углу $\pi$ радиан (180 градусов). Точка $M$ делит дугу $CD$ в отношении, которое можно вычислить как:

   $$\frac{CM}{CD} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{3}.$$

   Это означает, что точка $M$ находится на $\frac{2}{3}$ пути от точки $C$ до точки $D$.

4. Графическое изображение:

   Точка $M$ на числовой окружности будет расположена на $\frac{2}{3}$ пути между точками $C$ и $D$.

б) Число $\left(-\frac{17\pi}{4}\right)$;

1. Приведение числа $-\frac{17\pi}{4}$ к эквивалентному углу:

   Поскольку угол отрицательный, это означает, что точка будет двигаться по окружности по часовой стрелке. Чтобы привести угол к положительному эквивалентному углу, добавим $2\pi$ (или $8\pi/4$):

   $$a = 6\pi — \frac{17\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}.$$

   Это эквивалентно повороту на угол $\frac{\pi}{4}$ против часовой стрелки, поскольку $2\pi$ добавляется, чтобы привести угол в положительную форму.

2. Поворот точки $D$ на угол $\frac{\pi}{4}$:

   Поворот точки $D$ на угол $\frac{\pi}{4}$ против часовой стрелки перемещает точку $D$ на угол $\frac{\pi}{4}$ по окружности. Таким образом, точка $M$ будет расположена на этом расстоянии от точки $D$.

3. Деление дуги $DA$:

   Дуга $DA$ составляет $\frac{\pi}{2}$ радиан. Точка $M$ делит эту дугу в отношении:

   $$\frac{DM}{DA} = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

   Это означает, что точка $M$ будет находиться в середине дуги $DA$.

4. Графическое изображение:

   Точка $M$ будет расположена в середине дуги $DA$ на числовой окружности.

в) Число $\frac{31\pi}{6}$;

1. Приведение числа $\frac{31\pi}{6}$ к эквивалентному углу:

   Угол $\frac{31\pi}{6}$ превышает два полных оборота. Чтобы привести его в эквивалентную форму, разделим на два полных оборота:

   $$a = 4\pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}.$$

   Это означает, что угол $\frac{31\pi}{6}$ эквивалентен углу $\frac{7\pi}{6}$, что в свою очередь эквивалентно углу $\frac{\pi}{6}$ после одного полного оборота.

2. Поворот точки на угол $\frac{\pi}{6}$:

   Таким образом, угол $\frac{31\pi}{6}$ эквивалентен повороту на угол $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки, что означает, что точка будет двигаться по окружности на $\frac{\pi}{6}$ радиан.

3. Деление дуги $CD$:

   Дуга $CD$ составляет $\frac{\pi}{2}$ радиан. Точка $M$ делит дугу $CD$ в отношении:

   $$\frac{CM}{CD} = \frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

   Это означает, что точка $M$ будет находиться на $\frac{1}{3}$ пути от точки $C$ до точки $D$.

4. Графическое изображение:

   Точка $M$ будет расположена на $\frac{1}{3}$ пути от точки $C$ до точки $D$.

г) Число $\left(-\frac{19\pi}{3}\right)$;

1. Приведение числа $-\frac{19\pi}{3}$ к эквивалентному углу:

   Угол $-\frac{19\pi}{3}$ является отрицательным и превышает два полных оборота. Чтобы привести его в эквивалентную форму, добавим $2\pi$ дважды:

   $$a = 8\pi — \frac{19\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}.$$

   Это эквивалентно повороту на угол $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки.

2. Поворот точки $D$ на угол $\frac{\pi}{6}$:

   Поворот точки $D$ на угол $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки перемещает точку $D$ на угол $\frac{\pi}{6}$ по окружности.

3. Деление дуги $DA$:

   Дуга $DA$ составляет $\frac{\pi}{2}$ радиан. Точка $M$ делит дугу $DA$ в отношении:

   $$\frac{DM}{DA} = \frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

   Это означает, что точка $M$ будет находиться на $\frac{1}{3}$ пути от точки $D$ до точки $A$.

4. Графическое изображение:

   Точка $M$ будет расположена на $\frac{1}{3}$ пути от точки $D$ до точки $A$.