ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{\pi}{8}$

б) $-\frac{\pi }{12}$

в) $\frac{7\pi}{12}$

г) $-\frac{11\pi }{8}$$$

а) Число $\frac{\pi}{8}$:

Соответствует повороту точки $A$ на угол $\frac{\pi}{8}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $AB$ в отношении:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{\pi}{8} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};$$

На числовой окружности:

б) Число $\left(-\frac{\pi}{12}\right)$:

$a = 2\pi — \frac{\pi}{12} = \frac{23\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{2} + \frac{5\pi}{12}$;

Соответствует повороту точки $D$ на угол $\frac{5\pi}{12}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $DA$ в отношении:

$$\frac{DM}{DA} = \frac{5\pi}{12} : \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6};$$

На числовой окружности:

в) Число $\frac{7\pi}{12}$:

$a = \frac{7\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}$;

Соответствует повороту точки $B$ на угол $\frac{\pi}{12}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $BC$ в отношении:

$$\frac{BM}{BC} = \frac{\pi}{12} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6};$$

На числовой окружности:

г) Число $\left(-\frac{11\pi}{8}\right)$:

$a = 2\pi — \frac{11\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$;

Соответствует повороту точки $B$ на угол $\frac{\pi}{8}$ против часовой стрелки;

То есть искомая точка $M$ делит дугу $BC$ в отношении:

$$\frac{BM}{BC} = \frac{\pi}{8} : \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};$$

На числовой окружности:

а) Число $\frac{\pi}{8}$:

1. Соответствие числа $\frac{\pi}{8}$ повороту точки $A$:

   Число $\frac{\pi}{8}$ представляет собой угол, равный 22,5 градуса. Это означает, что точка $A$ будет поворачиваться на угол $\frac{\pi}{8}$ против часовой стрелки от своей исходной позиции. Поскольку $\frac{\pi}{8}$ меньше, чем угол $\frac{\pi}{2}$, это относительно небольшой поворот, и точка $A$ окажется на окружности на небольшом расстоянии от своей начальной позиции.

2. Деление дуги $AB$:

   Дуга $AB$ между точками $A$ и $B$ соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90 градусов). Когда точка $A$ поворачивается на угол $\frac{\pi}{8}$, она делит дугу $AB$ в отношении:

   $$\frac{AM}{AB} = \frac{\frac{\pi}{8}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$$

   Это означает, что точка $M$ расположена на четвертой части пути между точками $A$ и $B$.

3. Графическое изображение:

   На числовой окружности точка $M$ будет находиться на $\frac{1}{4}$-м пути от точки $A$ до точки $B$. Это визуализируется как небольшое смещение точки $A$ на угол $\frac{\pi}{8}$ по окружности.

б) Число $\left(-\frac{\pi}{12}\right)$:

1. Приведение угла $-\frac{\pi}{12}$ к положительному эквиваленту:

   Мы имеем отрицательное число $-\frac{\pi}{12}$, что означает, что точка будет двигаться по часовой стрелке. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, добавим $2\pi$ (так как полный круг равен $2\pi$):

   $$a = 2\pi — \frac{\pi}{12} = \frac{23\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{2} + \frac{5\pi}{12}.$$

   Это эквивалентно повороту на угол $\frac{5\pi}{12}$ против часовой стрелки, что позволяет работать с положительным углом.

2. Поворот точки $D$ на угол $\frac{5\pi}{12}$:

   Поворот точки $D$ на угол $\frac{5\pi}{12}$ против часовой стрелки будет происходить на угол чуть больше $\frac{\pi}{4}$ (то есть чуть больше 45 градусов). Точка $D$ переместится по окружности на этот угол.

3. Деление дуги $DA$:

   Дуга $DA$ соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90 градусов). Точка $M$ делит дугу $DA$ в отношении:

   $$\frac{DM}{DA} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}.$$

   Это означает, что точка $M$ будет находиться на $\frac{5}{6}$ пути от точки $D$ до точки $A$.

4. Графическое изображение:

   На числовой окружности точка $M$ будет расположена на $\frac{5}{6}$-м пути от точки $D$ до точки $A$. Это означает, что точка $M$ почти достигла точки $A$, но еще не достигла её.

в) Число $\frac{7\pi}{12}$:

1. Приведение числа $\frac{7\pi}{12}$ к эквивалентному углу:

   Угол $\frac{7\pi}{12}$ больше, чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше, чем полный оборот $2\pi$. Мы можем выразить этот угол как сумму двух углов:

   $$a = \frac{7\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}.$$

   Это означает, что угол $\frac{7\pi}{12}$ — это угол, который включает половину окружности ($\frac{\pi}{2}$) плюс дополнительный угол $\frac{\pi}{12}$.

2. Поворот точки $B$ на угол $\frac{\pi}{12}$:

   Поворот точки $B$ на угол $\frac{\pi}{12}$ против часовой стрелки будет происходить на небольшой угол, равный $15^\circ$, от ее исходной позиции.

3. Деление дуги $BC$:

   Дуга $BC$ составляет $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90 градусов). Точка $M$ делит дугу $BC$ в отношении:

   $$\frac{BM}{BC} = \frac{\frac{\pi}{12}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.$$

   Это означает, что точка $M$ будет находиться на $\frac{1}{6}$-м пути от точки $B$ до точки $C$.

4. Графическое изображение:

   На числовой окружности точка $M$ будет расположена на $\frac{1}{6}$-м пути от точки $B$ до точки $C$.

г) Число $\left(-\frac{11\pi}{8}\right)$:

1. Приведение числа $-\frac{11\pi}{8}$ к эквивалентному углу:

   Поскольку угол отрицательный, он будет вращаться по часовой стрелке. Чтобы привести его к положительному эквивалентному углу, добавим $2\pi$ (или $\frac{16\pi}{8}$):

   $$a = 2\pi — \frac{11\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}.$$

   Это означает, что угол $-\frac{11\pi}{8}$ эквивалентен углу $\frac{\pi}{8}$ после полного оборота и дополнительного поворота на угол $\frac{\pi}{8}$.

2. Поворот точки $B$ на угол $\frac{\pi}{8}$:

   Поворот точки $B$ на угол $\frac{\pi}{8}$ против часовой стрелки переместит точку $B$ на угол $\frac{\pi}{8}$ по окружности, что является небольшим смещением.

3. Деление дуги $BC$:

   Дуга $BC$ соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан. Точка $M$ делит дугу $BC$ в отношении:

   $$\frac{BM}{BC} = \frac{\frac{\pi}{8}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$$

   Это означает, что точка $M$ будет находиться на $\frac{1}{4}$-м пути от точки $B$ до точки $C$.

4. Графическое изображение:

   На числовой окружности точка $M$ будет расположена на $\frac{1}{4}$-м пути от точки $B$ до точки $C$.