ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 111 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией.

1. 2; 3; 5; 8; …
2. 2; -2; -6; -10; …
3. 16; 8; 4; 2; …
4. 2; -1; 10; -7; 18; …

Последовательность является геометрической прогрессией в том, и только в том случае, если отношение ее соседних членов постоянно.

$2; 3; 5; 8; \ldots$;

$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{2};$

$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{5}{3};$

$q_1 \neq q_2 — \text{не является};$

$2; -2; -6; -10; \ldots$;

$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{2} = -1;$

$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-6}{-2} = 3;$

$q_1 \neq q_2 — \text{не является};$

$16; 8; 4; 2; \ldots$;

$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2};$

$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2};$

$q_3 = \frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$

$q_1 = q_2 = q_3 — \text{является};$

$2; -1; 10; -7; 18; \ldots$;

$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{2} = -0,5;$

$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{10}{-1} = -10;$

$q_1 \neq q_2 — \text{не является};$

Ответ: 3.

Для того чтобы понять, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно вспомнить, что последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого следующего члена последовательности к предыдущему постоянно. Это отношение называется общим знаменателем прогрессии или q.

Итак, для каждой из предложенных последовательностей рассмотрим их члены и вычислим отношение соседних членов. Если это отношение одинаково для всех членов, то последовательность является геометрической прогрессией.

1) $2; 3; 5; 8; \ldots$

Итак, у нас есть последовательность:

$2, 3, 5, 8, \ldots$

Теперь вычислим отношения между соседними членами:

Первое отношение:

$$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Второе отношение:

$$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$

Третье отношение:

$$q_3 = \frac{b_4}{b_3} = \frac{8}{5} = 1.6$$

Как видим, $q_1$, $q_2$ и $q_3$ различаются друг от друга (они не равны). Это означает, что последовательность не является геометрической прогрессией, поскольку для геометрической прогрессии отношение соседних членов должно быть постоянным.

Ответ: Не является геометрической прогрессией.

2) $2; -2; -6; -10; \ldots$

У нас есть последовательность:

$2, -2, -6, -10, \ldots$

Теперь вычислим отношения между соседними членами:

Первое отношение:

$$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{2} = -1$$

Второе отношение:

$$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-6}{-2} = 3$$

Третье отношение:

$$q_3 = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$

Как видим, значения $q_1$, $q_2$ и $q_3$ снова разные. Это также подтверждает, что последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: Не является геометрической прогрессией.

3) $16; 8; 4; 2; \ldots$

Теперь рассмотрим последовательность:

$16, 8, 4, 2, \ldots$

Вычислим отношения между соседними членами:

Первое отношение:

$$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Второе отношение:

$$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Третье отношение:

$$q_3 = \frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Здесь все отношения одинаковы: $q_1 = q_2 = q_3 = \frac{1}{2}$. Это означает, что последовательность является геометрической прогрессией с общим знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Ответ: Является геометрической прогрессией.

4) $2; -1; 10; -7; 18; \ldots$

Теперь рассмотрим последовательность:

$2, -1, 10, -7, 18, \ldots$

Вычислим отношения между соседними членами:

Первое отношение:

$$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{2} = -0.5$$

Второе отношение:

$$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{10}{-1} = -10$$

Третье отношение:

$$q_3 = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-7}{10} = -0.7$$

Четвертое отношение:

$$q_4 = \frac{b_5}{b_4} = \frac{18}{-7} \approx -2.5714$$

Здесь все отношения между членами разные, что также подтверждает, что последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: Не является геометрической прогрессией.

Итоговый вывод:

Из всех предложенных последовательностей только последовательность $16; 8; 4; 2; \ldots$ является геометрической прогрессией.

Ответ: 3.