ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 113 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите $b_4$, если $b_1=-3$ и $q=\frac{1}{2}$

б) Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите $b_6$, если $b_1=\sqrt{2}$ и $q=-\sqrt{2}$

а) $b_1=-3$ и $q=\frac{1}{2}$;

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$;

$b_4=b_1\cdot q^{4-1}=b_1\cdot q^3$;

$b_4=-3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{3}{8}$;

Ответ: $b_4=-\frac{3}{8}$.

б) $b_1=\sqrt{2}$ и $q=-\sqrt{2}$;

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$;

$b_6=b_1\cdot q^{6-1}=b_1\cdot q^5$;

$b_6=\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2}{)}^5=-(\sqrt{2}{)}^6=-8$;

Ответ: $b_6=-8$.

а) $b_1=-3$ и $q=\frac{1}{2}$

У нас дана формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

где:

• $b_1$ — первый элемент прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии (множитель),
• $b_n$ — $n$-й элемент прогрессии.

В задаче даны значения:

• $b_1=-3$ (первый элемент прогрессии),
• $q=\frac{1}{2}$ (знаменатель прогрессии).

Нам нужно найти $b_4$, то есть 4-й элемент прогрессии.

Шаг 1. Подставляем значения в формулу.

По формуле:

$$b_4=b_1\cdot q^{4-1}=b_1\cdot q^3$$

Подставляем значения $b_1=-3$ и $q=\frac{1}{2}$:

$$b_4=-3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3$$

Шаг 2. Вычисляем степень.

Вычислим ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

Шаг 3. Умножаем.

Теперь подставим это значение в выражение для $b_4$:

$$b_4=-3\cdot \frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Ответ:

Таким образом, 4-й элемент прогрессии:

$$b_4=-\frac{3}{8}$$

б) $b_1=\sqrt{2}$ и $q=-\sqrt{2}$

Теперь рассмотрим второй случай. У нас снова есть формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

где:

• $b_1=\sqrt{2}$,
• $q=-\sqrt{2}$.

Нам нужно найти $b_6$, то есть 6-й элемент прогрессии.

Шаг 1. Подставляем значения в формулу.

По формуле:

$$b_6=b_1\cdot q^{6-1}=b_1\cdot q^5$$

Подставляем значения $b_1=\sqrt{2}$ и $q=-\sqrt{2}$:

$$b_6=\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2}{)}^5$$

Шаг 2. Вычисляем степень.

Вычислим $(-\sqrt{2}{)}^5$. Обратите внимание, что $(-\sqrt{2}{)}^5=(-1{)}^5\cdot (\sqrt{2}{)}^5$, и $(-1{)}^5=-1$. Таким образом:

$$(-\sqrt{2}{)}^5=-(\sqrt{2}{)}^5$$

Теперь вычислим $(\sqrt{2}{)}^5$. Мы знаем, что $(\sqrt{2}{)}^2=2$, поэтому:

$$(\sqrt{2}{)}^5=(\sqrt{2}{)}^2\cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot \sqrt{2}=2\cdot 2\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

Таким образом, $(-\sqrt{2}{)}^5=-4\sqrt{2}$.

Шаг 3. Умножаем.

Теперь подставим это значение в выражение для $b_6$:

$$b_6=\sqrt{2}\cdot (-4\sqrt{2})=-4\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=-4\cdot 2=-8$$

Ответ:

Таким образом, 6-й элемент прогрессии:

$$b_6=-8$$

Итоговый ответ:

1. $b_4=-\frac{3}{8}$
2. $b_6=-8$