ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 114 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите разность арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1=-18$ и $a_{10}=18$

б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1=-4$ и $b_6=\frac{1}{8}$

а) $a_1=-18$ и $a_{10}=18$;

$a_n=a_1+d(n-1)$;

$a_{10}=a_1+d(10-1)=a_1+9d$;

$9d=a_{10}-a_1$, отсюда $d=\frac{a_{10}-a_1}{9}$;

$d=\frac{18-(-18)}{9}=\frac{18+18}{9}=\frac{36}{9}=4$;

Ответ: $d=4$.

б) $b_1=-4$ и $b_6=\frac{1}{8}$;

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$;

$b_6=b_1\cdot q^{6-1}=b_1\cdot q^5$;

$q^5=\frac{b_6}{b_1}$, отсюда $q=\sqrt[5]{\frac{b_6}{b_1}}$;

$q=\sqrt[5]{\frac{\frac{1}{8}}{-4}}=\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=-\frac{1}{2}$;

Ответ: $q=-\frac{1}{2}$.

Часть а)

Даны значения $a_1=-18$ и $a_{10}=18$. Нам нужно найти разность прогрессии $d$.

Шаг 1. Запишем общую формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии.

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$$a_n=a_1+d(n-1),$$

где:

• $a_n$ — $n$-й член прогрессии,
• $a_1$ — первый член прогрессии,
• $d$ — разность прогрессии,
• $n$ — порядковый номер члена прогрессии.

Шаг 2. Подставим известные значения для $n=10$.

Из условия задачи известно, что $a_{10}=18$, и мы хотим найти разность прогрессии $d$. Подставим это значение в общую формулу для $a_n$:

$$a_{10}=a_1+d(10-1)=a_1+9d\mathrm{.}$$

Теперь подставим значения $a_{10}=18$ и $a_1=-18$:

$$18=-18+9d\mathrm{.}$$

Шаг 3. Решим полученное уравнение для $d$.

Чтобы найти разность $d$, нужно из уравнения выразить $d$:

$$18=-18+9d\mathrm{.}$$

Добавим $18$ к обеим частям уравнения:

$$18+18=9d,$$$$36=9d\mathrm{.}$$

Теперь разделим обе части уравнения на 9:

$$d=\frac{36}{9}=4.$$

Ответ:

Разность прогрессии $d=4$.

Часть б)

Даны значения $b_1=-4$ и $b_6=\frac{1}{8}$. Нам нужно найти знаменатель прогрессии $q$.

Шаг 1. Запишем общую формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1},$$

где:

• $b_n$ — $n$-й член прогрессии,
• $b_1$ — первый член прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии,
• $n$ — порядковый номер члена прогрессии.

Шаг 2. Подставим известные значения для $n=6$.

Из условия задачи известно, что $b_6=\frac{1}{8}$, и нам нужно найти знаменатель прогрессии $q$. Подставим это значение в общую формулу для $b_n$:

$$b_6=b_1\cdot q^{6-1}=b_1\cdot q^5\mathrm{.}$$

Теперь подставим значения $b_6=\frac{1}{8}$ и $b_1=-4$:

$$\frac{1}{8}=-4\cdot q^5\mathrm{.}$$

Шаг 3. Решим полученное уравнение для $q$.

Чтобы найти $q$, нужно из уравнения выразить $q^5$. Для этого сначала разделим обе части уравнения на $-4$:

$$\frac{1}{8}÷(-4)=q^5,$$$$q^5=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{-4}=-\frac{1}{32}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем пятый корень из обеих сторон уравнения:

$$q=\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}\mathrm{.}$$

Пятый корень из $-\frac{1}{32}$ равен $-\frac{1}{2}$, поскольку:

$${(-\frac{1}{2})}^5=-\frac{1}{32}\mathrm{.}$$

Ответ:

Знаменатель прогрессии $q=-\frac{1}{2}$.

Итоговое решение:

а) Разность арифметической прогрессии $d=4$.

б) Знаменатель геометрической прогрессии $q=-\frac{1}{2}$.