ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 116 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии (a1), если а1 = 18, d = -2.

б) Найдите сумму первых пяти членов конечной геометрической прогрессии, если b1 = 6, q = 3.

а) $a_1 = 18$ и $d = -2$;

$a_n = a_1 + d(n-1)$;

$a_{25} = a_1 + 24d = 18 + 24 \cdot (-2) = 18 — 48 = -30$;

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$;

$S_{25} = \frac{(18 — 30) \cdot 25}{2} = \frac{-12 \cdot 25}{2} = -6 \cdot 25 = -150$;

Ответ: $S_{25} = -150$.

б) $b_1 = 6$ и $q = 3$;

$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$;

$S_5 = \frac{6 \cdot (3^5 — 1)}{3 — 1} = \frac{6 \cdot (243 — 1)}{2} = \frac{6 \cdot 242}{2} = 3 \cdot 242 = 726$;

Ответ: $S_5 = 726$.

а) Арифметическая прогрессия

Дано: $a_1 = 18$ — первый элемент прогрессии, $d = -2$ — разность прогрессии.

Нужно найти сумму первых 25 членов прогрессии, то есть $S_{25}$.

Шаг 1: Вычислим 25-й элемент прогрессии

Формула для $n$-го элемента арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим известные значения для нахождения $a_{25}$:

$$a_{25} = a_1 + d(25 — 1)$$

Преобразуем выражение:

$$a_{25} = 18 + (-2)(24)$$ $$a_{25} = 18 — 48$$ $$a_{25} = -30$$

Таким образом, 25-й элемент арифметической прогрессии равен $a_{25} = -30$.

Шаг 2: Найдем сумму первых 25 членов прогрессии

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

Подставим известные значения для $S_{25}$:

$$S_{25} = \frac{(18 + (-30)) \cdot 25}{2}$$ $$S_{25} = \frac{(-12) \cdot 25}{2}$$ $$S_{25} = \frac{-300}{2}$$ $$S_{25} = -150$$

Ответ: $S_{25} = -150$.

б) Геометрическая прогрессия

Дано: $b_1 = 6$ — первый элемент прогрессии, $q = 3$ — знаменатель прогрессии.

Нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии, то есть $S_5$.

Шаг 1: Вычислим сумму первых 5 членов геометрической прогрессии

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

Подставим известные значения для $S_5$:

$$S_5 = \frac{6 \cdot (3^5 — 1)}{3 — 1}$$

Вычислим $3^5$:

$$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$$

Теперь подставим это значение в формулу:

$$S_5 = \frac{6 \cdot (243 — 1)}{2}$$ $$S_5 = \frac{6 \cdot 242}{2}$$ $$S_5 = \frac{1452}{2}$$ $$S_5 = 726$$

Ответ: $S_5 = 726$.

Итоговый ответ:

1. Для арифметической прогрессии: $S_{25} = -150$
2. Для геометрической прогрессии: $S_5 = 726$