ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 117 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Укажите номер данного члена арифметической прогрессии $2;\frac{4}{3};\frac{2}{3};\dots$, если $a_n$ = -4.

б) Укажите номер данного члена геометрической прогрессии 4; 12; 36; …, если $b_n$ = 972.

а) $2;\frac{4}{3};\frac{2}{3};\dots$;
$a_1=2,a_2=\frac{4}{3}$ и $a_n=-4$;

1. Разность прогрессии:
   $d=a_2-a_1=\frac{4}{3}-2=\frac{4}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{2}{3};$
2. Номер искомого члена:
   $a_n=a_1+d(n-1);$
   $-4=2-\frac{2}{3}(n-1);$
   $-6=-\frac{2}{3}n+\frac{2}{3}\mathrm{\mid }\cdot 3;$
   $-18=-2n+2;$
   $2n=20;$
   $n=\frac{20}{2}=10;$
   Ответ: $n=10$.

б) $4;12;36;\dots$;
$b_1=4,b_2=12$ и $b_n=972$;

1. Знаменатель прогрессии:
   $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{4}=3;$
2. Номер искомого члена:
   $b_n=b_1\cdot q^{n-1};$
   $972=4\cdot 3^{n-1};$
   $243=3^{n-1};$
   $3^5=3^{n-1};$
   $5=n-1;$
   $n=5+1=6;$
   Ответ: $n=6$.

а) Арифметическая прогрессия

Дано: $a_1=2$, $a_2=\frac{4}{3}$, $a_n=-4$.

Нужно найти номер $n$-го члена, равного $-4$, в данной арифметической прогрессии.

Шаг 1: Вычислим разность прогрессии $d$

Формула для нахождения разности арифметической прогрессии:

$$d=a_2-a_1$$

Подставим известные значения:

$$d=\frac{4}{3}-2$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$d=\frac{4}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}$$

Таким образом, разность прогрессии $d=-\frac{2}{3}$.

Шаг 2: Найдем номер $n$-го члена, равного $-4$

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

Подставим известные значения для нахождения $n$:

$$-4=2-\frac{2}{3}(n-1)$$

Теперь решим это уравнение:

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-4-2=-\frac{2}{3}(n-1)$$$$-6=-\frac{2}{3}(n-1)$$

Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$-6\cdot 3=-2(n-1)$$$$-18=-2(n-1)$$

Упростим уравнение:

$$-18=-2n+2$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-18-2=-2n$$$$-20=-2n$$

Разделим обе стороны на $-2$:

$$n=\frac{-20}{-2}=10$$

Таким образом, номер искомого члена прогрессии $n=10$.

Ответ: $n=10$.

б) Геометрическая прогрессия

Дано: $b_1=4$, $b_2=12$, $b_n=972$.

Нужно найти номер $n$-го члена, равного $972$, в данной геометрической прогрессии.

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии $q$

Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}$$

Подставим известные значения:

$$q=\frac{12}{4}=3$$

Таким образом, знаменатель прогрессии $q=3$.

Шаг 2: Найдем номер $n$-го члена, равного $972$

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

Подставим известные значения для нахождения $n$:

$$972=4\cdot 3^{n-1}$$

Разделим обе стороны на 4:

$$\frac{972}{4}=3^{n-1}$$$$243=3^{n-1}$$

Теперь заметим, что $243$ — это степень числа 3:

$$243=3^5$$

Таким образом, получаем:

$$3^5=3^{n-1}$$

Приравняем показатели степени:

$$5=n-1$$

Решим уравнение:

$$n=5+1=6$$

Таким образом, номер искомого члена прогрессии $n=6$.

Ответ: $n=6$.

Итоговый ответ:

1. Для арифметической прогрессии: $n=10$.
2. Для геометрической прогрессии: $n=6$.