ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 119 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите число членов геометрической прогрессии (), если $b_1=6$, $q=3$ и $S_n=726$

б) Найдите число членов геометрической прогрессии (), если $b_1=128$, $q=\frac{1}{2}$ и $b_n=\frac{1}{4}$

а) $b_1=6$, $q=3$ и $S_n=726$;

$$S_n=\frac{b_1\cdot (q^n-1)}{q-1};$$$$726=\frac{6\cdot (3^n-1)}{3-1};$$$$726=\frac{6\cdot (3^n-1)}{2};$$$$726\cdot 2=6\cdot (3^n-1);$$$$1452=6\cdot (3^n-1);$$$$242=3^n-1;$$$$243=3^n;$$$$3^5=3^n,\text{отсюда }n=5;$$

Ответ: $n=5$.

б) $b_1=128$, $q=\frac{1}{2}$ и $b_n=\frac{1}{4}$;

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1};$$$$\frac{1}{4}=128\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};$$$$\frac{1}{4\cdot 128}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};$$$$\frac{1}{512}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};$$$${\left(\frac{1}{2}\right)}^9={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};$$$$9=n-1,\text{отсюда }n=10;$$

Ответ: $n=10$.

Задача а)

Даны:

• Начальный элемент прогрессии $b_1=6$
• Знаменатель прогрессии $q=3$
• Сумма первых $n$ элементов прогрессии $S_n=726$

Нужно найти значение $n$.

Шаг 1: Используем формулу суммы геометрической прогрессии.

Для суммы первых $n$ элементов геометрической прогрессии используем формулу:

$$S_n=\frac{b_1\cdot (q^n-1)}{q-1}$$

Подставляем в неё известные значения:

$$S_n=726,b_1=6,q=3$$

Получаем:

$$726=\frac{6\cdot (3^n-1)}{3-1}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Знаменатель $3-1=2$, и подставляем это в выражение:

$$726=\frac{6\cdot (3^n-1)}{2}$$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$726\cdot 2=6\cdot (3^n-1)$$$$1452=6\cdot (3^n-1)$$

Шаг 3: Раскрываем скобки.

Теперь раскроем скобки:

$$1452=6\cdot 3^n-6$$

Шаг 4: Переносим все слагаемые на одну сторону.

Переносим $-6$ на правую часть:

$$1452+6=6\cdot 3^n$$$$1458=6\cdot 3^n$$

Шаг 5: Делим обе стороны на 6.

Чтобы выделить $3^n$, делим обе части равенства на 6:

$$\frac{1458}{6}=3^n$$$$243=3^n$$

Шаг 6: Преобразуем число 243 в степень 3.

Число 243 можно представить как степень числа 3:

$$243=3^5$$

Следовательно:

$$3^n=3^5$$

Шаг 7: Сравниваем показатели степени.

Так как основания одинаковы (оба равны 3), можно приравнять показатели степеней:

$$n=5$$

Ответ: $n=5$.

Задача б)

Даны:

• Начальный элемент прогрессии $b_1=128$
• Знаменатель прогрессии $q=\frac{1}{2}$
• $n$-й элемент прогрессии $b_n=\frac{1}{4}$

Нужно найти значение $n$.

Шаг 1: Используем формулу для $n$-го элемента геометрической прогрессии.

Формула для общего члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

Подставляем известные значения:

$$b_n=\frac{1}{4},b_1=128,q=\frac{1}{2}$$

Получаем:

$$\frac{1}{4}=128\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Шаг 2: Разделим обе стороны на 128.

Чтобы выделить степень ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$, делим обе части на 128:

$$\frac{1}{4\cdot 128}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Вычислим $4\cdot 128$:

$$4\cdot 128=512$$

Итак, выражение принимает вид:

$$\frac{1}{512}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Шаг 3: Записываем число $\frac{1}{512}$ как степень $\frac{1}{2}$.

Число $\frac{1}{512}$ можно представить как степень $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{512}={\left(\frac{1}{2}\right)}^9$$

Таким образом, мы получаем равенство:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^9={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Шаг 4: Сравниваем показатели степеней.

Так как основания одинаковы (оба равны $\frac{1}{2}$), приравниваем показатели степеней:

$$9=n-1$$

Шаг 5: Решаем для $n$.

Теперь решаем для $n$:

$$n=9+1=10$$

Ответ: $n=10$.