ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите декартовы координаты заданной точки:

а) $M\left(\frac{\pi}{6}\right) = M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

б) $M\left(\frac{\pi}{4}\right) = M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

в) $M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{3\pi }{2}\right)$

В задаче предполагается использование табличных данных, приведенных в соответствующем параграфе учебника;

а) $M\left(\frac{\pi}{6}\right) = M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

б) $M\left(\frac{\pi}{4}\right) = M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

в) $M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1);$

1. Введение

В данной задаче рассматриваются значения матричного представления функции $M$, связанного с углами и значениями тригонометрических функций. Задача включает в себя использование таблицы значений для вычисления значений функции $M(\theta)$ для определенных углов $\theta$, выраженных в радианах.

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

2. Пояснение символов

• $M(\theta)$ — это матричное представление точки на окружности с углом $\theta$, где:
  • $\cos(\theta)$ — это x-координата точки на единичной окружности.
  • $\sin(\theta)$ — это y-координата точки на единичной окружности.

Матрица $M(\theta)$ представляет собой координаты точки на окружности в декартовой системе координат:

$$M(\theta) = \left( \cos(\theta); \sin(\theta) \right)$$

3. Разбор пунктов задачи

Теперь разберем каждый из пунктов задачи:

а) $M\left(\frac{\pi}{6}\right) = M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$

1. Угол $\frac{\pi}{6}$ — это 30 градусов. Мы знаем, что на единичной окружности для угла $\frac{\pi}{6}$ значения косинуса и синуса равны:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

2. Таким образом, матричное представление для угла $\frac{\pi}{6}$ будет:

   $$M\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$$

3. В данном пункте задача просто напоминает нам о значениях косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$, и эти значения используются в виде матрицы.

б) $M\left(\frac{\pi}{4}\right) = M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

1. Угол $\frac{\pi}{4}$ — это 45 градусов. Для этого угла косинус и синус равны:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Следовательно, матричное представление для угла $\frac{\pi}{4}$:

   $$M\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

3. Этот пункт снова подтверждает стандартные значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$ и записывает их в виде матрицы.

в) $M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

1. Угол $\frac{\pi}{3}$ — это 60 градусов. Для этого угла косинус и синус имеют следующие значения:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Таким образом, матричное представление для угла $\frac{\pi}{3}$ будет:

   $$M\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

3. В данном пункте, как и в предыдущих, выводятся стандартные значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$, и они записываются в виде матрицы.

г) $M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1)$

1. Угол $\frac{3\pi}{2}$ — это 270 градусов. Для этого угла значения косинуса и синуса равны:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$$

2. Матричное представление для угла $\frac{3\pi}{2}$:

   $$M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \left( 0; -1 \right)$$

3. Этот пункт завершает вычисления для угла $\frac{3\pi}{2}$, который находится на оси $y$, где x-координата равна 0, а y-координата — -1.

4. Заключение

Каждый пункт задачи представляет собой использование стандартных значений тригонометрических функций для различных углов. Эти значения берутся из таблицы значений косинусов и синусов для основных углов (30°, 45°, 60°, 270°), и результат записывается в виде матрицы. Важно помнить, что функция $M(\theta)$ представляет собой точку на единичной окружности, где $\cos(\theta)$ и $\sin(\theta)$ — это x- и y-координаты соответственно.