ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Что больше, абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности:

а) $E(1)$;

б) $K(-2,5)$;

в) $P(7)$;

г) $M(-4)$?

Выяснить, что больше: абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности;

а) $E(1)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1,57;$$

Точка $E$ принадлежит I четверти:

$$4 > \pi;$$ $$1 > \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $x < y$.

б) $K(-2,5)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$a = 6,28 — 2,5 = 3,78;$$ $$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71;$$ $$\pi < a < \frac{3\pi}{2};$$

Точка $K$ принадлежит III четверти:

$$\frac{5\pi}{4} \approx 3,92;$$ $$a < \frac{5\pi}{4};$$

Ответ: $x < y$.

в) $P(7)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$a = 7 — 6,28 = 0,72;$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1,57;$$ $$0 < a < \frac{\pi}{2};$$

Точка $P$ принадлежит I четверти:

$$\frac{\pi}{4} \approx 0,78;$$ $$a < \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $x > y$.

г) $M(-4)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$a = 6,28 — 4 = 2,28;$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1,57;$$ $$\frac{\pi}{2} < a < \pi;$$

Точка $M$ принадлежит II четверти:

$$x < 0 \text{ и } y > 0;$$

Ответ: $x < y$.

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. На числовой окружности угол измеряется от положительного направления оси абсцисс (по часовой стрелке или против) и соответствует точке на окружности с координатами $(\cos \theta, \sin \theta)$, где $\theta$ — угол. Заданный угол $\theta$ может быть любым, но важно, в какой четверти находится точка.

Мы будем рассматривать:

• Абсциссу (x): это координата, соответствующая значению $\cos \theta$.
• Ординату (y): это координата, соответствующая значению $\sin \theta$.

Для того чтобы узнать, что больше, нужно определить, в какой четверти находится точка и какие значения $\cos \theta$ и $\sin \theta$ в этой четверти.

Давайте перейдем к решению для каждой точки.

а) $E(1)$

Шаг 1: Определение угла $\theta$, соответствующего точке $E$.

Точка $E(1)$ означает, что угол $\theta = 1$ радиан. Нам нужно понять, в какой четверти находится эта точка и определить, какая из координат больше: абсцисса или ордината.

Шаг 2: Определение четверти.

Мы знаем, что:

$$\pi \approx 3,14$$

Таким образом, угол $1$ радиан находится в интервале:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2}$$

Это означает, что точка $E$ лежит в I четверти.

Шаг 3: Определение значений $\cos \theta$ и $\sin \theta$.

В первой четверти как $\cos \theta$, так и $\sin \theta$ положительны. Но важно отметить, что в этом интервале:

$$\cos \theta < \sin \theta$$

Поскольку угол $1$ радиан меньше, чем $\frac{\pi}{4}$, мы можем утверждать, что для этой точки абсцисса меньше ординаты.

Ответ: $x < y$.

б) $K(-2,5)$

Шаг 1: Определение угла $\theta$, соответствующего точке $K(-2,5)$.

Точка $K$ имеет угол $-2,5$ радиан. Чтобы понять, в какой четверти находится эта точка, давайте переведем угол в положительное значение. Мы добавим $2\pi$, чтобы привести угол в интервал $[0, 2\pi]$.

Шаг 2: Приведение угла в интервал $[0, 2\pi]$.

Мы знаем:

$$2\pi \approx 6,28$$

Добавим $2\pi$ к углу $-2,5$:

$$a = 6,28 — 2,5 = 3,78$$

Теперь угол $3,78$ радиан, и нам нужно определить, в какой четверти он находится.

Шаг 3: Определение четверти.

Мы знаем, что:

$$\pi \approx 3,14 \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$$

Проверим, в каком интервале лежит угол $3,78$:

$$\pi < 3,78 < \frac{3\pi}{2}$$

Этот угол находится в III четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

В III четверти как абсцисса, так и ордината отрицательны. Однако из-за того, что угол находится ближе к $\pi$ (угол примерно $\frac{5\pi}{4}$), ордината будет немного больше по величине, чем абсцисса. Это означает, что ордината больше по модулю.

Ответ: $x < y$.

в) $P(7)$

Шаг 1: Определение угла $\theta$, соответствующего точке $P(7)$.

Точка $P$ имеет угол $7$ радиан. Давайте приведем этот угол в интервал $[0, 2\pi]$.

Шаг 2: Приведение угла в интервал $[0, 2\pi]$.

Мы знаем, что:

$$2\pi \approx 6,28$$

Теперь уменьшаем угол $7$ радиан на $2\pi$:

$$a = 7 — 6,28 = 0,72$$

Теперь угол $0,72$ радиан, и мы видим, что он лежит в первом квартале.

Шаг 3: Определение четверти.

Поскольку $0 < 0,72 < \frac{\pi}{2}$, точка $P$ находится в I четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

В I четверти как абсцисса, так и ордината положительны. Но важно заметить, что $\cos(0,72)$ будет меньше, чем $\sin(0,72)$, так как угол меньше $\frac{\pi}{4}$, а $\sin \theta$ растет быстрее, чем $\cos \theta$.

Ответ: $x > y$.

г) $M(-4)$

Шаг 1: Определение угла $\theta$, соответствующего точке $M(-4)$.

Точка $M$ имеет угол $-4$ радиан. Давайте переведем этот угол в интервал $[0, 2\pi]$.

Шаг 2: Приведение угла в интервал $[0, 2\pi]$.

Мы знаем, что:

$$2\pi \approx 6,28$$

Теперь добавим $2\pi$ к углу $-4$:

$$a = 6,28 — 4 = 2,28$$

Теперь угол $2,28$ радиан, и нам нужно определить, в какой четверти он находится.

Шаг 3: Определение четверти.

Мы знаем, что:

$$\frac{\pi}{2} \approx 1,57 \quad \text{и} \quad \pi \approx 3,14$$

Проверим, в каком интервале лежит угол $2,28$:

$$\frac{\pi}{2} < 2,28 < \pi$$

Этот угол находится в II четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

В II четверти абсцисса отрицательная ($x < 0$) и ордината положительная ($y > 0$).

Ответ: $x < y$.

Итоговые ответы:

а) $x < y$

б) $x < y$

в) $x > y$

г) $x < y$