ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности:

а) F(2,8);

б) L(-4,2);

в) K(-0,5);

г) M(4,5)?

Выяснить, что больше: модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности;

а) $F(2,8)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1,57;$$ $$\frac{\pi}{2} < 2,8 < \pi;$$

Точка $F$ принадлежит II четверти:

$$\frac{3\pi}{4} \approx 2,35;$$ $$2,8 > \frac{3\pi}{4};$$

Ответ: $|x| > |y|$.

б) $L(-4,2)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$a = 6,28 — 4,2 = 2,08;$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1,57;$$ $$\frac{\pi}{2} < a < \pi;$$

Точка $L$ принадлежит II четверти:

$$\frac{3\pi}{4} \approx 2,35;$$ $$a < \frac{3\pi}{4};$$

Ответ: $|x| < |y|$.

в) $K(-0,5)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$a = 6,28 — 0,5 = 5,78;$$ $$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71;$$ $$\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi;$$

Точка $K$ принадлежит IV четверти:

$$\frac{7\pi}{4} \approx 5,49;$$ $$a > \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $|x| > |y|$.

г) $M(4,5)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71;$$ $$\pi < a < \frac{3\pi}{2};$$

Точка $M$ принадлежит III четверти:

$$\frac{5\pi}{4} \approx 3,92;$$ $$4,5 > \frac{5\pi}{4};$$

Ответ: $|x| < |y|$.

Основные понятия:

• Абсцисса (x) — это значение $\cos \theta$, где $\theta$ — угол, соответствующий точке на окружности.
• Ордината (y) — это значение $\sin \theta$.

Заданный угол $\theta$ может быть любым, и в зависимости от его значения точка будет находиться в одной из четырех четвертей:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Теперь перейдем к анализу каждой точки.

а) $F(2,8)$

Шаг 1: Определение угла, соответствующего точке $F(2,8)$.

Угол, соответствующий точке $F$, равен $2,8$ радиан. Мы должны определить, в какой четверти находится эта точка.

Шаг 2: Определение четверти.

Поскольку:

$$\pi \approx 3,14 \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{2} \approx 1,57$$

Мы видим, что:

$$\frac{\pi}{2} < 2,8 < \pi$$

Это означает, что угол $2,8$ радиан лежит в II четверти (так как $2,8$ радиан больше, чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше, чем $\pi$).

Шаг 3: Модуль абсциссы и ординаты.

Мы знаем, что в II четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Поскольку $2,8$ радиан больше $\frac{3\pi}{4}$, то ордината будет больше по величине, чем абсцисса. Это означает, что:

$$|x| < |y|$$

Ответ: $|x| > |y|$ — по ошибке в изначальном решении нужно было исправить этот вывод, так как ордината больше по величине.

б) $L(-4,2)$

Шаг 1: Определение угла, соответствующего точке $L(-4,2)$.

Точка $L$ имеет угол $-4,2$ радиана. Приведем этот угол в интервал $[0, 2\pi]$, добавив $2\pi$ к углу.

Шаг 2: Приведение угла в интервал $[0, 2\pi]$.

Мы знаем, что:

$$2\pi \approx 6,28$$

Теперь добавим $2\pi$ к углу $-4,2$:

$$a = 6,28 — 4,2 = 2,08$$

Теперь угол $2,08$ радиан.

Шаг 3: Определение четверти.

Теперь проверим, в какой четверти находится угол $2,08$:

$$\frac{\pi}{2} \approx 1,57 \quad \text{и} \quad \pi \approx 3,14$$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2,08 < \pi$, угол $2,08$ радиан лежит в II четверти.

Шаг 4: Модуль абсциссы и ординаты.

В II четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Поскольку $2,08$ радиан меньше $\frac{3\pi}{4}$, то модуль ординаты больше модуля абсциссы.

Ответ: $|x| < |y|$.

в) $K(-0,5)$

Шаг 1: Определение угла, соответствующего точке $K(-0,5)$.

Точка $K$ имеет угол $-0,5$ радиан. Приведем этот угол в интервал $[0, 2\pi]$, добавив $2\pi$ к углу.

Шаг 2: Приведение угла в интервал $[0, 2\pi]$.

Мы знаем, что:

$$2\pi \approx 6,28$$

Теперь добавим $2\pi$ к углу $-0,5$:

$$a = 6,28 — 0,5 = 5,78$$

Теперь угол $5,78$ радиан.

Шаг 3: Определение четверти.

Теперь проверим, в какой четверти находится угол $5,78$:

$$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71 \quad \text{и} \quad 2\pi \approx 6,28$$

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5,78 < 2\pi$, угол $5,78$ радиан лежит в IV четверти.

Шаг 4: Модуль абсциссы и ординаты.

В IV четверти абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Поскольку $5,78$ радиан больше $\frac{7\pi}{4}$, то модуль абсциссы больше модуля ординаты.

Ответ: $|x| > |y|$.

г) $M(4,5)$

Шаг 1: Определение угла, соответствующего точке $M(4,5)$.

Точка $M$ имеет угол $4,5$ радиан. Мы должны определить, в какой четверти находится эта точка.

Шаг 2: Определение четверти.

Мы знаем, что:

$$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$$

Теперь проверим, в каком интервале лежит угол $4,5$:

$$\pi < 4,5 < \frac{3\pi}{2}$$

Таким образом, угол $4,5$ радиан находится в III четверти.

Шаг 3: Модуль абсциссы и ординаты.

В III четверти абсцисса и ордината отрицательны. Поскольку $4,5$ радиан больше $\frac{5\pi}{4}$, модуль ординаты будет больше модуля абсциссы.

Ответ: $|x| < |y|$.

Итоговые ответы:

а) $|x| > |y|$

б) $|x| < |y|$

в) $|x| > |y|$

г) $|x| < |y|$