ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Как связаны между собой абсциссы точек числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + \pi$;

в) $t$ и $\pi — t$;

г) $t$ и $2\pi — t$

Как связаны между собой абсциссы точек числовой окружности;

а) $t$ и $-t$;

Точки симметричны относительно оси $Ox$, значит их абсциссы равны;

Ответ: одинаковы.

б) $t$ и $t + \pi$;

$$(t + \pi) — t = \pi;$$

Точки являются концами одного диаметра, значит их абсциссы равны по модулю и противоположны по знаку;

Ответ: противоположны.

в) $t$ и $\pi — t$;

Точки симметричны относительно оси $Oy$, значит их абсциссы равны по модулю и противоположны по знаку;

Ответ: противоположны.

г) $t$ и $2\pi — t$;

$$(2\pi — t) = -t;$$

Точки симметричны относительно оси $Ox$, значит их абсциссы равны;

Ответ: одинаковы.

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Точки на числовой окружности соответствуют углам $t$, где $t$ — это угол, который образует вектор, соединяющий начало координат с точкой на окружности, с положительным направлением оси абсцисс.

Каждая точка на окружности имеет координаты $(\cos t, \sin t)$, где $t$ — это угол в радианах, и абсцисса $x$ этой точки равна $\cos t$. Задача заключается в том, чтобы определить, как связаны между собой абсциссы разных точек на окружности.

а) $t$ и $-t$

Шаг 1: Симметрия относительно оси $Ox$.

• Точка с углом $t$ имеет абсциссу $\cos t$ и ординату $\sin t$.
• Точка с углом $-t$ имеет абсциссу $\cos (-t) = \cos t$ и ординату $\sin (-t) = -\sin t$.

Шаг 2: Сравнение абсцисс.

Мы видим, что абсцисса точки с углом $t$ равна абсциссе точки с углом $-t$, поскольку $\cos t = \cos (-t)$. Это означает, что абсциссы этих точек одинаковы.

Ответ: абсциссы одинаковы.

б) $t$ и $t + \pi$

Шаг 1: Точки являются концами диаметра.

• Точка с углом $t$ на числовой окружности имеет абсциссу $\cos t$ и ординату $\sin t$.
• Точка с углом $t + \pi$ (это на $\pi$ радиан дальше от точки с углом $t$) имеет абсциссу $\cos(t + \pi)$ и ординату $\sin(t + \pi)$.

Шаг 2: Применение формул для косинуса и синуса:

Используем тригонометрические формулы для косинуса и синуса при добавлении угла $\pi$:

$$\cos(t + \pi) = -\cos t$$ $$\sin(t + \pi) = -\sin t$$

Шаг 3: Сравнение абсцисс.

Мы видим, что абсцисса точки с углом $t$ равна $\cos t$, а абсцисса точки с углом $t + \pi$ равна $-\cos t$. То есть абсциссы этих точек противоположны по знаку, но равны по модулю.

Ответ: абсциссы противоположны.

в) $t$ и $\pi — t$

Шаг 1: Симметрия относительно оси $Oy$.

• Точка с углом $t$ на числовой окружности имеет абсциссу $\cos t$ и ординату $\sin t$.
• Точка с углом $\pi — t$ имеет абсциссу $\cos(\pi — t)$ и ординату $\sin(\pi — t)$.

Шаг 2: Применение тригонометрических формул:

$$\cos(\pi — t) = -\cos t$$ $$\sin(\pi — t) = \sin t$$

Шаг 3: Сравнение абсцисс.

Мы видим, что абсцисса точки с углом $\pi — t$ равна $-\cos t$, а абсцисса точки с углом $t$ равна $\cos t$. То есть абсциссы этих точек противоположны по знаку, но равны по модулю.

Ответ: абсциссы противоположны.

г) $t$ и $2\pi — t$

Шаг 1: Симметрия относительно оси $Ox$.

• Точка с углом $t$ на числовой окружности имеет абсциссу $\cos t$ и ординату $\sin t$.
• Точка с углом $2\pi — t$ имеет абсциссу $\cos(2\pi — t)$ и ординату $\sin(2\pi — t)$.

Шаг 2: Применение тригонометрических формул:

$$\cos(2\pi — t) = \cos t$$ $$\sin(2\pi — t) = -\sin t$$

Шаг 3: Сравнение абсцисс.

Мы видим, что абсцисса точки с углом $2\pi — t$ равна $\cos t$, а абсцисса точки с углом $t$ также равна $\cos t$. Это означает, что абсциссы этих точек одинаковы.

Ответ: абсциссы одинаковы.

Итоговые ответы:

а) абсциссы одинаковы.

б) абсциссы противоположны.

в) абсциссы противоположны.

г) абсциссы одинаковы.