ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Как связаны между собой ординаты точек числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + \pi$;

в) $t$ и $\pi — t$;

г) $t$ и $2\pi — t$

Как связаны между собой ординаты точек числовой окружности;

а) $t$ и $-t$;

Точки симметричны относительно оси $Ox$, значит их ординаты равны по модулю и противоположны по знаку;

Ответ: противоположны.

б) $t$ и $t + \pi$;

$$(t + \pi) — t = \pi;$$

Точки являются концами одного диаметра, значит их ординаты равны по модулю и противоположны по знаку;

Ответ: противоположны.

в) $t$ и $\pi — t$;

Точки симметричны относительно оси $Oy$, значит их ординаты равны;

Ответ: одинаковы.

г) $t$ и $2\pi — t$;

$$(2\pi — t) = -t;$$

Точки симметричны относительно оси $Ox$, значит их ординаты равны по модулю и противоположны по знаку;

Ответ: противоположны.

Важно помнить, что числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы измеряются от положительного направления оси абсцисс (по часовой стрелке или против). Каждому углу $t$ соответствует точка с координатами $(\cos t, \sin t)$, где $\cos t$ — это абсцисса, а $\sin t$ — ордината точки.

Мы будем рассматривать, как меняются ординаты точек для различных значений углов и их взаимосвязи.

а) $t$ и $-t$

Шаг 1: Понимание симметрии относительно оси $Ox$.

• Точка с углом $t$ имеет ординату $y = \sin t$.
• Точка с углом $-t$ имеет ординату $y = \sin(-t)$.

Шаг 2: Применение свойств синуса.

Из свойств синуса известно, что:

$$\sin(-t) = -\sin(t)$$

Это означает, что ордината точки с углом $-t$ противоположна по знаку ординате точки с углом $t$, но они равны по величине.

Шаг 3: Вывод.

Точки с углами $t$ и $-t$ симметричны относительно оси $Ox$. Следовательно, их ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку.

Ответ: Ординаты противоположны.

б) $t$ и $t + \pi$

Шаг 1: Понимание связи между точками.

• Точка с углом $t$ имеет ординату $y = \sin t$.
• Точка с углом $t + \pi$ имеет ординату $y = \sin(t + \pi)$.

Шаг 2: Применение тригонометрической формулы для синуса.

Из тригонометрических свойств синуса для суммы углов знаем, что:

$$\sin(t + \pi) = -\sin(t)$$

Это означает, что ордината точки с углом $t + \pi$ противоположна по знаку ординате точки с углом $t$, но равна по величине.

Шаг 3: Вывод.

Точки с углами $t$ и $t + \pi$ являются концами одного диаметра на числовой окружности. Это означает, что их ординаты равны по модулю и противоположны по знаку.

Ответ: Ординаты противоположны.

в) $t$ и $\pi — t$

Шаг 1: Понимание симметрии относительно оси $Oy$.

• Точка с углом $t$ имеет ординату $y = \sin t$.
• Точка с углом $\pi — t$ имеет ординату $y = \sin(\pi — t)$.

Шаг 2: Применение тригонометрической формулы для синуса.

Из тригонометрических свойств синуса знаем, что:

$$\sin(\pi — t) = \sin(t)$$

Это означает, что ординаты точек с углами $t$ и $\pi — t$ одинаковы.

Шаг 3: Вывод.

Точки с углами $t$ и $\pi — t$ симметричны относительно оси $Oy$. Это означает, что их ординаты одинаковы.

Ответ: Ординаты одинаковы.

г) $t$ и $2\pi — t$

Шаг 1: Понимание симметрии относительно оси $Ox$.

• Точка с углом $t$ имеет ординату $y = \sin t$.
• Точка с углом $2\pi — t$ имеет ординату $y = \sin(2\pi — t)$.

Шаг 2: Применение тригонометрической формулы для синуса.

Из тригонометрических свойств синуса знаем, что:

$$\sin(2\pi — t) = -\sin(t)$$

Это означает, что ордината точки с углом $2\pi — t$ противоположна по знаку ординате точки с углом $t$, но равна по величине.

Шаг 3: Вывод.

Точки с углами $t$ и $2\pi — t$ симметричны относительно оси $Ox$. Это означает, что их ординаты равны по модулю и противоположны по знаку.

Ответ: Ординаты противоположны.

Итоговые ответы:

а) Ординаты противоположны.

б) Ординаты противоположны.

в) Ординаты одинаковы.

г) Ординаты противоположны.