ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки:

а) $x = 0$;

б) $x = \frac{1}{2}$;

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $x = 1$

а) $x = 0$;

Подходящие точки:
$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$
$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} — 2\pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б) $x = \frac{1}{2}$;

Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$
$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:
$M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{6}\right);$
$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{6}\right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $x = 1$;

Подходящая точка:
$M(1; 0) = M(2\pi);$

Ответ: $t = 2\pi n$.

Числовая окружность — это окружность с радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы измеряются от положительного направления оси абсцисс и соответствуют точкам на окружности. Мы будем искать такие значения $t$, для которых абсцисса точки на окружности равна заданным значениям.

а) $x = 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда абсцисса точки равна 0, это означает, что точка лежит на вертикальной оси (оси $Oy$). Это происходит, когда угол $t$ равен $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (или их кратным значениям с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1(0; 1)$ — точка на окружности, соответствующая углу $\frac{\pi}{2}$.
• $M_2(0; -1)$ — точка на окружности, соответствующая углу $\frac{3\pi}{2}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Для точки $M_1(0; 1)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{2}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число.

Для точки $M_2(0; -1)$, угол $t_2 = \frac{3\pi}{2}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, или эквивалентно $t_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б) $x = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда абсцисса точки равна $\frac{1}{2}$, это означает, что точка находится в одной из двух возможных позиций на числовой окружности: либо в I, либо в IV четверти. Эти значения углов обычно соответствуют углам, где $\cos t = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $\frac{\pi}{3}$.
• $M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $\frac{5\pi}{3}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Для точки $M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{3}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Для точки $M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, угол $t_2 = \frac{5\pi}{3}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, или эквивалентно $t_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда абсцисса точки равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, это означает, что точка находится в II или III четверти. Эти значения углов соответствуют углам, где $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $\frac{5\pi}{6}$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $\frac{7\pi}{6}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Для точки $M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$, угол $t_1 = \frac{5\pi}{6}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Для точки $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$, угол $t_2 = \frac{7\pi}{6}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, или эквивалентно $t_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $x = 1$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда абсцисса точки равна 1, это означает, что точка лежит на положительной оси абсцисс. Эта точка на числовой окружности соответствует углу $0$ или углу $2\pi$, так как для этих углов $\cos t = 1$.

Шаг 2: Подходящая точка.

• $M(1; 0)$ — точка на окружности, соответствующая углу $2\pi$.

Шаг 3: Соответствующее число.

Для точки $M(1; 0)$, угол $t = 2\pi$, и все такие углы можно записать как $t = 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

б) $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

в) $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

г) $t = 2\pi n$