ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $x = -1$

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} — 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} — 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $x = -1$;

Подходящая точка:

$$M(-1; 0) = M(\pi);$$

Ответ: $t = \pi + 2\pi n$.

Числовая окружность — это окружность с радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы измеряются от положительного направления оси абсцисс. Для каждой точки на числовой окружности есть соответствующее значение угла $t$, где $t$ — это угол, который вектор, соединяющий начало координат с точкой, образует с положительным направлением оси абсцисс.

Каждая точка на окружности имеет координаты $(\cos t, \sin t)$, где $t$ — угол в радианах, и $\cos t$ — это абсцисса, а $\sin t$ — ордината точки.

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых абсцисса точки на числовой окружности равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — характерное для углов $t = \frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{11\pi}{6}$ (или их эквивалентов с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{\pi}{6}$.
• $M_2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{11\pi}{6}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

• Для точки $M_1\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{6}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Для точки $M_2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{11\pi}{6}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, или эквивалентно $t_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых абсцисса точки на числовой окружности равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ характерно для углов $t = \frac{3\pi}{4}$ и $t = \frac{5\pi}{4}$ (или их эквивалентов с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{3\pi}{4}$.
• $M_2\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{5\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

• Для точки $M_1\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{3\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.
• Для точки $M_2\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{5\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, или эквивалентно $t_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых абсцисса точки на числовой окружности равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ характерно для углов $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$ (или их эквивалентов с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{\pi}{4}$.
• $M_2\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

• Для точки $M_1\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
• Для точки $M_2\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{7\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$, или эквивалентно $t_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $x = -1$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда абсцисса точки равна $-1$, это означает, что точка лежит на отрицательной части оси абсцисс. Это происходит, когда угол $t$ равен $\pi$ (или его эквивалентам с добавлением $2\pi n$).

Шаг 2: Подходящая точка.

• $M(-1; 0)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \pi$.

Шаг 3: Соответствующее число.

Для точки $M(-1; 0)$, угол $t = \pi$, и все такие углы можно записать как $t = \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \pi + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

б) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

в) $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

г) $t = \pi + 2\pi n$