ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 0$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $y = 1$

а) $y = 0$;
Подходящие точки:
$M_1(1; 0) = M_1(2\pi)$;
$M_2(-1; 0) = M_2(\pi)$;
Ответ: $t_1 = 2\pi n$; $t_2 = \pi + 2\pi n$.

б) $y = \frac{1}{2}$;
Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{6}\right)$;
$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)$;
Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Подходящие точки:
$M_1\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{4\pi}{3}\right)$;
$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right)$;
Ответ: $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $y = 1$;
Подходящая точка:
$M(0; 1) = M\left(\frac{\pi}{2}\right)$;
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Числовая окружность — это окружность с радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Каждому углу $t$ соответствует точка на окружности, и для каждой точки известно ее значение абсциссы $x = \cos t$ и ординаты $y = \sin t$. Мы будем искать такие углы $t$, для которых ордината точки равна заданным значениям.

а) $y = 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда ордината точки равна 0, это означает, что точка лежит на оси абсцисс (ось $Ox$). Это происходит, когда угол $t$ равен $0$ или $\pi$ (или их эквивалентам с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящие точки.

Точки с ординатой 0 — это те, которые лежат на оси $Ox$, то есть:

• $M_1(1; 0)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = 2\pi$.
• $M_2(-1; 0)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \pi$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Для точки $M_1(1; 0)$, угол $t_1 = 2\pi$, и все такие углы можно записать как $t_1 = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для точки $M_2(-1; 0)$, угол $t_2 = \pi$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t_1 = 2\pi n$, $t_2 = \pi + 2\pi n$.

б) $y = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда ордината точки равна $\frac{1}{2}$, это означает, что точка находится в одной из двух возможных позиций на числовой окружности: либо в I, либо в II четверти. Эти значения углов соответствуют углам, где $\sin t = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{\pi}{6}$.
• $M_2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Для точки $M_1\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{6}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Для точки $M_2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{5\pi}{6}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда ордината точки равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, это означает, что точка находится в III или IV четверти. Эти значения углов соответствуют углам, где $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{4\pi}{3}$.
• $M_2\left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{5\pi}{3}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Для точки $M_1\left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{4\pi}{3}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Для точки $M_2\left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{5\pi}{3}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, $t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $y = 1$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда ордината точки равна 1, это означает, что точка лежит на верхней части единичной окружности, то есть на положительной оси ординат (ось $Oy$). Это происходит, когда угол $t$ равен $\frac{\pi}{2}$ (или его эквивалентам с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящая точка.

• $M(0; 1)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{\pi}{2}$.

Шаг 3: Соответствующее число.

Для точки $M(0; 1)$, угол $t = \frac{\pi}{2}$, и все такие углы можно записать как $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t_1 = 2\pi n$, $t_2 = \pi + 2\pi n$

б) $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

в) $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, $t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

г) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$