ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y = -1$

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$

г) $y = -1$;

Подходящая точка:

$$M(0; -1) = M \left( \frac{3\pi}{2} \right);$$

Ответ: $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы на числовой окружности измеряются от положительного направления оси абсцисс. Точки на окружности соответствуют углам $t$, где $t$ — это угол, который вектор, соединяющий начало координат с точкой, образует с положительным направлением оси абсцисс. Для каждой точки на окружности известно ее значение абсциссы $x = \cos t$ и ординаты $y = \sin t$.

Наша задача — найти такие углы $t$, для которых ордината точки равна заданным значениям.

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти углы $t$, для которых ордината точки на окружности равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — характерное для углов $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$, а также для всех эквивалентных углов с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{\pi}{3}$.
• $M_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

• Для точки $M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{3}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Для точки $M_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{2\pi}{3}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых ордината точки на окружности равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ характерно для углов $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{3\pi}{4}$, а также для всех эквивалентных углов с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{\pi}{4}$.
• $M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

• Для точки $M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
• Для точки $M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{3\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых ордината точки на окружности равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ характерно для углов $t = \frac{5\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$, а также для всех эквивалентных углов с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_1 = \frac{5\pi}{4}$.
• $M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t_2 = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

• Для точки $M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_1 = \frac{5\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
• Для точки $M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, угол $t_2 = \frac{7\pi}{4}$, и все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $t = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $y = -1$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда ордината точки равна $-1$, это означает, что точка лежит на нижней части оси ординат (ось $Oy$), то есть на отрицательной оси ординат. Это происходит, когда угол $t$ равен $\frac{3\pi}{2}$ (или его эквивалентам с добавлением $2\pi n$, где $n$ — целое число).

Шаг 2: Подходящая точка.

• $M(0; -1)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 3: Соответствующее число.

Для точки $M(0; -1)$, угол $t = \frac{3\pi}{2}$, и все такие углы можно записать как $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

б) $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

в) $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $t = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

г) $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$