ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, y < 0$;

б) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, y > 0$;

в) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, y < 0$;

г) $x = -\frac{1}{2}, \, y > 0$

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, y < 0$;
Пригодная точка:
$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{11\pi}{6}\right);$
Ответ: $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$

б) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, y > 0$;
Пригодная точка:
$M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{4}\right);$
Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$

в) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, y < 0$;
Пригодная точка:
$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{5\pi}{4}\right);$
Ответ: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$

г) $x = -\frac{1}{2}, \, y > 0$;
Пригодная точка:
$M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{2\pi}{3}\right);$
Ответ: $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

На числовой окружности угол $t$ измеряется от положительного направления оси абсцисс. Каждой точке на окружности соответствует значение абсциссы $x = \cos t$ и ординаты $y = \sin t$. Мы ищем такие значения $t$, для которых выполнены данные условия для $x$ и $y$. Обратим внимание на то, что точка может быть расположена в одной из четырех четвертей окружности, что влияет на знак координат.

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, y < 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin t < 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углам $t = \frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{11\pi}{6}$.
• Поскольку $y < 0$, то точка должна располагаться в IV четверти, где синус отрицателен.

Шаг 2: Подходящая точка.

Точка, которая соответствует $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y < 0$, находится в IV четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{11\pi}{6}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку точки на окружности повторяются через полный круг $2\pi$, то все углы, которые соответствуют этой точке, могут быть выражены как $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, y > 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t > 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$.
• Поскольку $y > 0$, точка должна быть в первой или второй четверти, где синус положителен.

Шаг 2: Подходящая точка.

Точка, которая соответствует $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y > 0$, находится в I четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку точки на окружности повторяются через полный круг $2\pi$, все такие углы могут быть выражены как $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, y < 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t < 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $t = \frac{3\pi}{4}$ и $t = \frac{5\pi}{4}$.
• Поскольку $y < 0$, точка должна быть в III или IV четверти, где синус отрицателен.

Шаг 2: Подходящая точка.

Точка, которая соответствует $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y < 0$, находится в III четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{5\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку точки на окружности повторяются через полный круг $2\pi$, все такие углы могут быть выражены как $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $x = -\frac{1}{2}, \, y > 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых $\cos t = -\frac{1}{2}$ и $\sin t > 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\cos t = -\frac{1}{2}$ соответствует углам $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{4\pi}{3}$.
• Поскольку $y > 0$, точка должна быть во второй четверти, где синус положителен.

Шаг 2: Подходящая точка.

Точка, которая соответствует $x = -\frac{1}{2}$ и $y > 0$, находится во второй четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку точки на окружности повторяются через полный круг $2\pi$, все такие углы могут быть выражены как $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$

б) $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

в) $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

г) $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$