ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x > 0$;

б) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x < 0;$

в) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x < 0;$

г) $y = -\frac{1}{2}, \, x > 0;$

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x > 0$;
Подходящая точка:
$M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right);$
Ответ: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x < 0;$
Подходящая точка:
$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{5\pi}{4}\right);$
Ответ: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$

в) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x < 0;$
Подходящая точка:
$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right);$
Ответ: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$

г) $y = -\frac{1}{2}, \, x > 0;$
Подходящая точка:
$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{11\pi}{6}\right);$
Ответ: $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$

На числовой окружности угол $t$ измеряется от положительного направления оси абсцисс. Каждой точке на окружности соответствует значение абсциссы $x = \cos t$ и ординаты $y = \sin t$. Мы ищем такие значения углов $t$, для которых выполнены данные условия для $x$ и $y$. Каждая точка на числовой окружности имеет координаты $(\cos t, \sin t)$, где $t$ — это угол в радианах.

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x > 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти углы $t$, для которых ордината $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и абсцисса $x > 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углам $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$.
• Поскольку $x > 0$, точка должна быть в I или IV четверти, где $\cos t > 0$.

Шаг 2: Подходящая точка.

Поскольку $x > 0$, точка находится в I четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Все такие углы, которые соответствуют точке, могут быть записаны как $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как окружность повторяется через полный круг $2\pi$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x < 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых ордината $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и абсцисса $x < 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $t = \frac{5\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$.
• Поскольку $x < 0$, точка должна находиться во второй или третьей четверти, где $\cos t < 0$.

Шаг 2: Подходящая точка.

Поскольку $x < 0$, точка находится в III четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{5\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Все такие углы, которые соответствуют точке, могут быть записаны как $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x < 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых ордината $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и абсцисса $x < 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{3\pi}{4}$.
• Поскольку $x < 0$, точка должна находиться во второй четверти, где $\cos t < 0$.

Шаг 2: Подходящая точка.

Поскольку $x < 0$, точка находится во второй четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{3\pi}{4}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Все такие углы, которые соответствуют точке, могут быть записаны как $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $y = -\frac{1}{2}, \, x > 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Нам нужно найти такие углы $t$, для которых ордината $y = -\frac{1}{2}$ и абсцисса $x > 0$. Мы знаем, что:

• Значение $\sin t = -\frac{1}{2}$ соответствует углам $t = \frac{7\pi}{6}$ и $t = \frac{11\pi}{6}$.
• Поскольку $x > 0$, точка должна находиться в IV четверти, где $\cos t > 0$.

Шаг 2: Подходящая точка.

Поскольку $x > 0$, точка находится в IV четверти. Угол, который соответствует данной точке, равен $t = \frac{11\pi}{6}$.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Все такие углы, которые соответствуют точке, могут быть записаны как $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

б) $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

в) $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

г) $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$