ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $M(-3\pi) = M(\pi — 4\pi) = M(\pi) = M(-1; 0);$

б) $M\left(\frac{11\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

в) $M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(2\pi — \frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{31\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 14\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1);$

В задаче предполагается использование табличных данных, приведенных в соответствующем параграфе учебника;

а) $M(-3\pi) = M(\pi — 4\pi) = M(\pi) = M(-1; 0);$

б) $M\left(\frac{11\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

в) $M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(2\pi — \frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{31\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 14\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1);$

Для решения задачи 12.2, где нужно использовать табличные данные, мы рассмотрим значения тригонометрических функций синуса и косинуса, применяя их к углам, заданным в задаче. Все решения будут основываться на табличных значениях этих функций для стандартных углов, а также на свойствах периодичности тригонометрических функций.

Шаг 1: Рассмотрим первую часть задачи

а) $M(-3\pi) = M(\pi — 4\pi) = M(\pi) = M(-1; 0)$

1. $M(-3\pi)$:
   Угол $-3\pi$ означает, что мы двигаемся по окружности в обратную сторону от положительного направления оси $x$ на угол $3\pi$. Угол $3\pi$ равен $180^\circ \times 3 = 540^\circ$, а по мере продвижения в обратную сторону (отрицательное направление), мы получаем угол, противоположный $\pi$ (или $180^\circ$). У нас получается точка на оси $x$, которая соответствует координатам $(-1; 0)$.
2. $M(\pi — 4\pi)$:
   Угол $\pi — 4\pi = -3\pi$, что мы уже вычислили выше. Значение этой точки будет таким же, как для $M(-3\pi)$, а именно $(-1; 0)$.
3. $M(\pi)$:
   Угол $\pi$ — это стандартный угол $180^\circ$, который указывает на точку на оси $x$ с координатами $(-1; 0)$.

Таким образом, для всех трех значений:

$$M(-3\pi) = M(\pi — 4\pi) = M(\pi) = M(-1; 0).$$

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть задачи

б) $M\left(\frac{11\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

1. $M\left(\frac{11\pi}{4}\right)$:
   Угол $\frac{11\pi}{4}$ представляет собой угол, который превышает $2\pi$, так как $\frac{11\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$. Это означает, что мы продолжаем движение на $\frac{3\pi}{4}$ после полного оборота $2\pi$, то есть этот угол эквивалентен углу $\frac{3\pi}{4}$. Из табличных значений мы знаем, что для угла $\frac{3\pi}{4}$ значения синуса и косинуса равны $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть точка будет иметь координаты $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
2. $M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi\right)$:
   Здесь угол $\frac{3\pi}{4} + 2\pi$ также равен $\frac{3\pi}{4}$, так как $2\pi$ — это полный оборот, который не изменяет положение точки. Следовательно, точка будет иметь такие же координаты, как и для $M\left(\frac{11\pi}{4}\right)$, то есть $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
3. $M\left(\frac{3\pi}{4}\right)$:
   Угол $\frac{3\pi}{4}$ уже был рассмотрен, и координаты точки снова будут $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Таким образом, для всех трех значений:

$$M\left(\frac{11\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Шаг 3: Рассмотрим третью часть задачи

в) $M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(2\pi — \frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

1. $M\left(\frac{5\pi}{3}\right)$:
   Угол $\frac{5\pi}{3}$ эквивалентен углу $2\pi — \frac{\pi}{3}$, то есть это угол, который находится на второй четверти окружности. Из таблицы значений мы знаем, что для угла $\frac{5\pi}{3}$, синус и косинус равны $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, то есть точка будет иметь координаты $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
2. $M\left(2\pi — \frac{5\pi}{3}\right)$:
   Угол $2\pi — \frac{5\pi}{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$, и для угла $\frac{\pi}{3}$, синус и косинус равны $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, то есть точка будет иметь координаты $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
3. $M\left(\frac{\pi}{3}\right)$:
   Угол $\frac{\pi}{3}$ — это стандартный угол, и его координаты по табличным значениям $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Таким образом, для всех трех значений:

$$M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(2\pi — \frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

Шаг 4: Рассмотрим четвертую часть задачи

г) $M\left(\frac{31\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 14\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1)$

1. $M\left(\frac{31\pi}{2}\right)$:
   Угол $\frac{31\pi}{2}$ можно упростить, вычтя целые числа $2\pi$, чтобы привести его к углу, который меньше $2\pi$. Мы знаем, что $\frac{31\pi}{2}$ эквивалентен $\frac{3\pi}{2}$, так как $\frac{31\pi}{2} = 2\pi \times 7 + \frac{3\pi}{2}$. Угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует точке $(0; -1)$.
2. $M\left(\frac{3\pi}{2} + 14\pi\right)$:
   Похожий угол, $\frac{3\pi}{2} + 14\pi$, эквивалентен $\frac{3\pi}{2}$, так как $14\pi$ — это целое количество оборотов. Поэтому точка будет иметь координаты $(0; -1)$.
3. $M\left(\frac{3\pi}{2}\right)$:
   Угол $\frac{3\pi}{2}$ — это стандартный угол, который соответствует точке на оси $y$ с координатами $(0; -1)$.

Таким образом, для всех трех значений:

$$M\left(\frac{31\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 14\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1).$$

Ответ:

1. $M(-3\pi) = M(\pi — 4\pi) = M(\pi) = M(-1; 0)$
2. $M\left(\frac{11\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
3. $M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(2\pi — \frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
4. $M\left(\frac{31\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 14\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M(0; -1)$