ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = x$

б) $y = -x \sqrt{3}$

в) $x+y=0$

г) $\frac{x}{y}=\sqrt{3}$

а) $y = x$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi (2n);$$ $$t_2 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

б) $y = -x \sqrt{3}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi (2n);$$ $$t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi (2n + 1);$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

в) $x + y = 0 \quad => \quad x = -y$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi (2n);$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1);$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

г) $\frac{x}{y} = \sqrt{3} \quad => \quad x = y \sqrt{3}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi (2n);$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \pi (2n + 1);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы измеряются от положительного направления оси абсцисс. Каждой точке на окружности соответствует угол $t$, и для каждой точки известно её значение абсциссы $x = \cos t$ и ординаты $y = \sin t$.

Задача состоит в том, чтобы для заданных значений $y$ и $x$, которые могут быть положительными или отрицательными, найти соответствующие углы $t$. Все углы на окружности повторяются с шагом $2\pi$, поэтому для каждого угла существует множество эквивалентных значений.

а) $y = x$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $y = x$ на числовой окружности означает, что точка лежит на линии, где абсцисса равна ординате. Это возможно в двух случаях:

• $\cos t = \sin t$, что происходит при $t = \frac{\pi}{4}$ в I четверти и $t = \frac{5\pi}{4}$ в III четверти.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Для $t = \frac{\pi}{4}$, точка будет иметь координаты $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, и это будет точка в I четверти.
• Для $t = \frac{5\pi}{4}$, точка будет иметь координаты $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, и это будет точка в III четверти.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Каждая точка на окружности повторяется через полный круг $2\pi$. Для $t = \frac{\pi}{4}$, все такие углы можно выразить как $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Для точки $t = \frac{5\pi}{4}$, все такие углы можно выразить как $t_2 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -x \sqrt{3}$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $y = -x \sqrt{3}$ подразумевает, что точка лежит на прямой, где ордината в $\sqrt{3}$ раз больше по величине абсциссы, но с противоположным знаком. Это возможно для следующих углов:

• $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos t = \frac{1}{2}$ для угла $t = \frac{5\pi}{3}$ в IV четверти.
• $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos t = -\frac{1}{2}$ для угла $t = \frac{2\pi}{3}$ во II четверти.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Для $t = \frac{5\pi}{3}$, точка будет иметь координаты $\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ в IV четверти.
• Для $t = \frac{2\pi}{3}$, точка будет иметь координаты $\left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ во II четверти.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку углы на окружности повторяются с периодом $2\pi$, для $t_1 = \frac{5\pi}{3}$ все такие углы можно выразить как $t_1 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Для $t_2 = \frac{2\pi}{3}$, все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $x + y = 0 \quad => \quad x = -y$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $x + y = 0$ означает, что точка лежит на прямой, где абсцисса равна минус ординате. Это возможно для следующих углов:

• $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла $t = \frac{7\pi}{4}$ в IV четверти.
• $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла $t = \frac{3\pi}{4}$ во II четверти.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Для $t = \frac{7\pi}{4}$, точка будет иметь координаты $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ в IV четверти.
• Для $t = \frac{3\pi}{4}$, точка будет иметь координаты $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ в II четверти.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку углы на окружности повторяются с периодом $2\pi$, для $t_1 = \frac{7\pi}{4}$ все такие углы можно выразить как $t_1 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$. Для $t_2 = \frac{3\pi}{4}$, все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\frac{x}{y} = \sqrt{3} \quad => \quad x = y \sqrt{3}$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$ означает, что точка лежит на прямой, где абсцисса в $\sqrt{3}$ раз больше по величине ординаты. Это возможно для следующих углов:

• $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin t = \frac{1}{2}$ для угла $t = \frac{\pi}{6}$ в I четверти.
• $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin t = -\frac{1}{2}$ для угла $t = \frac{7\pi}{6}$ в III четверти.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Для $t = \frac{\pi}{6}$, точка будет иметь координаты $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$ в I четверти.
• Для $t = \frac{7\pi}{6}$, точка будет иметь координаты $\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right)$ в III четверти.

Шаг 3: Соответствующие числа.

Поскольку углы на окружности повторяются с периодом $2\pi$, для $t_1 = \frac{\pi}{6}$ все такие углы можно выразить как $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. Для $t_2 = \frac{7\pi}{6}$, все такие углы можно записать как $t_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Итоговые ответы:

а) $t = \frac{\pi}{4} + \pi k$

б) $t = -\frac{\pi}{3} + \pi k$

в) $t = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

г) $t = \frac{\pi}{6} + \pi k$