ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности все точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют:

а) $x > 0$;

б) $x < \frac{1}{2}$;

в) $x > \frac{1}{2}$;

г) $x < 0$

а) $x > 0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; -1) = M_1\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; 1) = M_2\left(\frac{\pi}{2}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $x < \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $x > \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) $x < 0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Числовая окружность — это окружность с радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. На числовой окружности углы $t$ измеряются от положительного направления оси абсцисс. Для каждой точки на окружности её координаты определяются с использованием тригонометрических функций: абсцисса $x = \cos t$ и ордината $y = \sin t$.

В этой задаче мы ищем интервалы углов $t$, которые соответствуют различным ограничениям на $x$ и $y$. Мы будем анализировать каждый случай, чтобы понять, как найти правильные углы.

а) $x > 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x > 0$, это означает, что точка находится на правой половине числовой окружности, которая включает первую и четвертую четверти. Нам нужно найти интервал углов $t$, для которых $x > 0$, что соответствует:

• $\cos t > 0$, то есть угол $t$ должен быть в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, но с учетом периодичности значений $t$ (каждые $2\pi$).

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1(0; -1)$ соответствует углу $t_1 = \frac{3\pi}{2}$, что находится в IV четверти, где $x = 0$ и $y = -1$.
• Точка $M_2(0; 1)$ соответствует углу $t_2 = \frac{\pi}{2}$, что находится в I четверти, где $x = 0$ и $y = 1$.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x > 0$, точка будет находиться между углами $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$, которые соответствуют первой и четвертой четверти. Это даёт нам интервал:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число, указывающее на периодичность углов.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

б) $x < \frac{1}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x < \frac{1}{2}$, это означает, что точка находится на части окружности, где абсцисса меньше чем $\frac{1}{2}$. Таким образом, нам нужно определить интервалы для углов $t$, когда $\cos t < \frac{1}{2}$.

• $\cos t = \frac{1}{2}$ соответствует углам $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{5\pi}{3}$, которые находятся на границе.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{3}$, это точка в первой четверти.
• Точка $M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t_2 = \frac{5\pi}{3}$, это точка в четвертой четверти.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x < \frac{1}{2}$, это значит, что углы $t$ находятся между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$. Интервал углов, где $\cos t < \frac{1}{2}$, будет:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число, учитывающее периодичность углов.

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

в) $x > \frac{1}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x > \frac{1}{2}$, это означает, что точка лежит в области окружности, где абсцисса больше, чем $\frac{1}{2}$. Нам нужно определить интервалы для углов $t$, где $\cos t > \frac{1}{2}$.

• $\cos t = \frac{1}{2}$ соответствует углам $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{5\pi}{3}$, которые находятся на границе.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t_1 = \frac{5\pi}{3}$, это точка в четвертой четверти.
• Точка $M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t_2 = \frac{\pi}{3}$, это точка в первой четверти.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x > \frac{1}{2}$, это значит, что углы $t$ находятся между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$. Интервал углов, где $\cos t > \frac{1}{2}$, будет:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число, учитывающее периодичность углов.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

г) $x < 0$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x < 0$, это означает, что точка находится в левой половине числовой окружности, которая включает вторую и третью четверти. Мы ищем интервал углов $t$, для которых $x < 0$, что соответствует:

• $\cos t < 0$, то есть угол $t$ должен быть в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1(0; 1)$ соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{2}$, что находится в I четверти.
• Точка $M_2(0; -1)$ соответствует углу $t_2 = \frac{3\pi}{2}$, что находится в III четверти.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x < 0$, точка будет находиться между углами $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$, что соответствует второй и третьей четверти. Это даёт нам интервал:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число, указывающее на периодичность углов.

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

б) $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

в) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

г) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$