ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y > 0$;

б) $y < \frac{1}{2}$;

в) $y > \frac{1}{2}$;

г) $y < 0$

а) $y > 0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(1; 0) = M_1(0);$$ $$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$$

Ответ:

$$2\pi n < t < \pi + 2\pi n.$$

б) $y < \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{6}\right) = M_1\left(-\frac{7\pi}{6}\right);$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{6}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

в) $y > \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{6}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

г) $y < 0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(-1; 0) = M_1(\pi) = M_1(-\pi);$$ $$M_2(1; 0) = M_2(0);$$

Ответ:

$$-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n.$$

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы $t$ измеряются от положительного направления оси абсцисс, и точка на окружности с углом $t$ имеет координаты $(x, y) = (\cos t, \sin t)$.

Задача состоит в том, чтобы найти интервал углов $t$, для которых выполнены различные условия для $x$ и $y$.

а) $y > 0$;

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $y > 0$, это означает, что точка на числовой окружности лежит в верхней половине окружности — в первой и второй четвертях, где $\sin t > 0$. То есть мы ищем интервал углов, для которых синус положительный.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1(1; 0)$ соответствует углу $t = 0$ (положительное направление оси абсцисс).
• Точка $M_2(-1; 0)$ соответствует углу $t = \pi$ (отрицательное направление оси абсцисс).

Однако из условия $y > 0$ нам нужны углы в первой и второй четвертях. Это значит, что угол $t$ должен быть в интервале от $0$ до $\pi$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов для этого условия находится между углами $t = 0$ и $t = \pi$, но с учётом периодичности числовой окружности:

$$2\pi n < t < \pi + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, указывающее на периодичность углов.

Ответ:

$$2\pi n < t < \pi + 2\pi n$$

б) $y < \frac{1}{2}$;

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $y < \frac{1}{2}$, это означает, что ордината точек на числовой окружности меньше $\frac{1}{2}$. Мы ищем углы, для которых $\sin t < \frac{1}{2}$. Это условие накладывает ограничения на углы в первой, второй и третьей четвертях, где синус меньше $\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{5\pi}{6}$ и также углу $t = -\frac{7\pi}{6}$.
• Точка $M_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Углы, соответствующие $y < \frac{1}{2}$, находятся в интервале между $t = -\frac{7\pi}{6}$ и $t = \frac{\pi}{6}$, а также повторяются с периодом $2\pi$:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

в) $y > \frac{1}{2}$;

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $y > \frac{1}{2}$, это означает, что ордината точек на числовой окружности больше $\frac{1}{2}$. Это условие накладывает ограничения на углы в первой и второй четвертях, где синус больше $\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{\pi}{6}$.
• Точка $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов, соответствующий условию $y > \frac{1}{2}$, будет находиться между углами $t = \frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{5\pi}{6}$, с учётом периодичности углов:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

г) $y < 0$;

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $y < 0$, это означает, что точка на числовой окружности находится в нижней половине окружности, то есть в третьей и четвёртой четвертях, где синус отрицателен. Мы ищем углы, для которых $\sin t < 0$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• Точка $M_1(-1; 0)$ соответствует углу $t = \pi$.
• Точка $M_2(1; 0)$ соответствует углу $t = 0$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов, соответствующий $y < 0$, находится между углами $t = \pi$ и $t = 0$, и повторяется с периодичностью $2\pi$:

$$-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $2\pi n < t < \pi + 2\pi n$

б) $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

в) $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

г) $-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$