ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y > -\frac{1}{2}$

а) $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{3\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{5\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $y > -\frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{11\pi}{6} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Нам нужно найти такие интервалы углов $t$, которые соответствуют заданным значениям ординаты $y$ для точек на числовой окружности, где $x = \cos t$ и $y = \sin t$. Углы на окружности периодичны с периодом $2\pi$, и поэтому все углы, которые могут быть решением, будут повторяться через полный круг.

а) $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия

Когда $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, это означает, что точка на числовой окружности находится выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем такие углы $t$, для которых $\sin t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ угол $t$ может быть равен $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$, так как эти значения для синуса достигаются в третьей и четвертой четвертях.

Шаг 2: Подходящие точки

Мы знаем, что:

• $M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{5\pi}{3}$ или $t = -\frac{\pi}{3}$.
• $M_2\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{4\pi}{3}$.

Шаг 3: Интервал углов

Интервал углов $t$, при которых $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, будет от угла $t = -\frac{\pi}{3}$ до $t = \frac{4\pi}{3}$. Периодичность углов означает, что решения повторяются с шагом $2\pi$. Таким образом, решение будет:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, обозначающее периодичность углов.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$$

б) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия

Когда $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$, это означает, что точка на числовой окружности лежит ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Нам нужно найти углы, при которых ордината $y$ меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, угол $t$ может быть равен $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$. Для $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, углы будут равны $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$.

Шаг 2: Подходящие точки

Мы знаем, что:

• $M_1\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{3\pi}{4}$ или $t = -\frac{5\pi}{4}$.
• $M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Интервал углов

Интервал углов, для которых $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$, будет находиться между углами $t = -\frac{5\pi}{4}$ и $t = \frac{\pi}{4}$. Периодичность углов с шагом $2\pi$ даёт нам:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

в) $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия

Когда $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, это означает, что точка на числовой окружности лежит ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Нам нужно найти такие углы $t$, при которых $\sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, углы будут равны $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$.

Шаг 2: Подходящие точки

Мы знаем, что:

• $M_1\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{5\pi}{4}$.
• $M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Интервал углов

Интервал углов, при которых $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, находится между углами $t = \frac{5\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$. Периодичность углов с шагом $2\pi$ даёт нам:

$$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

г) $y > -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Понимание условия

Когда $y > -\frac{1}{2}$, это означает, что точка на числовой окружности находится выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Мы ищем углы $t$, при которых $\sin t > -\frac{1}{2}$.

Для $\sin t = -\frac{1}{2}$, углы будут равны $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$.

Шаг 2: Подходящие точки

Мы знаем, что:

• $M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{11\pi}{6}$ или $t = -\frac{\pi}{6}$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{7\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал углов

Интервал углов, для которых $y > -\frac{1}{2}$, будет находиться между углами $t = -\frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$, с периодичностью:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

б) $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

в) $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

г) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$